Reekse, sigma-notasie en konvergensie (Graad 12) — Werkkaart en memorandum

∑ DANEMATHICS

GRATIS KABV-WISKUNDEHULPBRONNE

Graad 12 · Getalpatrone, rye en reekse

Reekse, sigma-notasie en konvergensie (Graad 12)

MEMORANDUM

Naam:

Klas:

Datum:

Punt

/ 29

Beantwoord al die vrae. Toon al jou bewerkings — punte word vir die metode sowel as vir die finale antwoord toegeken. Onderwyserskopie: aanvaar enige korrekte ekwivalente metode.

1
Die algemene term van ’n rekenkundige ry is Tₙ = 2n + 4. Bepaal T₁₀.
(1)
2(10) + 4 = 24✓ (1)
2
Bepaal die som van die eerste 19 terme van Tₙ = 2n + 4.
(3)
a = 6, d = 2. S₁₉ = 19/2[12 + 36] = 456✓✓✓ (3)
3
Bereken ∑_n=1²⁰ (3n − 1)
(3)
a = 2, d = 3, n = 20. S = 10[4 + 57] = 610✓✓✓ (3)
4
Hoeveel terme is daar in ∑_n=3¹⁰ Tₙ?
(1)
10 − 3 + 1 = 8 terme✓ (1)
5
Skryf 2 + 5 + 8 + … + 59 in sigma-notasie.
(3)
Tₙ = 3n − 1 en 3n − 1 = 59 gee n = 20, dus ∑_n=1²⁰ (3n − 1)✓✓✓ (3)
6
Bepaal S_∞ vir 8 + 4 + 2 + 1 + …
(2)
r = 1/2, dus S_∞ = 8/(1 − 1/2) = 16✓✓ (2)
7
Bepaal die waardes van x waarvoor ∑ 3(2x)^{n − 1} konvergeer.
(3)
−1 < 2x < 1, dus −1/2 < x < 1/2✓✓✓ (3)
8
Bereken S₁₀ vir die meetkundige reeks 2 + 6 + 18 + …
(3)
a = 2, r = 3. S₁₀ = (2(3¹⁰ − 1))/2 = 59 048✓✓✓ (3)
9
Lei die formule Sₙ = n/2 (a + l) af vir ’n rekenkundige reeks.
(4)
Skryf Sₙ vorentoe en agteruit ✓; optel gee 2Sₙ = n(a + l) omdat elke paar optel tot a + l ✓✓; ∴ Sₙ = n/2 (a + l) ✓(4)
10
Lei die formule af vir die som van die eerste n terme van ’n meetkundige reeks.
(4)
Sₙ = a + ar + … + arⁿ⁻¹; vermenigvuldig met r ✓; trek af om rSₙ − Sₙ = arⁿ − a te kry ✓; faktoriseer: Sₙ(r − 1) = a(rⁿ − 1) ✓; Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1 ✓(4)
11
Verduidelik waarom die som tot oneindigheid slegs bestaan wanneer −1 < r < 1.
(2)
Slegs dan nader rⁿ 0 soos n groei ✓, sodat die terme krimp en die totaal op ’n eindige waarde tot rus kom ✓(2)

TOTAAL: 29 punte