Reekse, sigma-notasie en konvergensie — Graad 12 (KABV)

Somformules vir rekenkundige en meetkundige reekse, hoe om sigma-notasie te lees en te skryf, en die som tot oneindigheid — insluitend die waardes van die verhouding waarvoor ’n reeks konvergeer.

’n Ry is ’n lys terme; ’n reeks is wat jy kry wanneer jy hulle optel. Sₙ beteken die som van die eerste n terme.

1Die formules

Rekenkundig
Tₙ = a + (n − 1)d · Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d

Meetkundig
Tₙ = ar^{n − 1} · Sₙ = (a(rⁿ − 1))/(r − 1), r ≠ 1

💡

As jy reeds die laaste term ℓ ken, is die rekenkundige som vinniger as Sₙ = n/2(a + ℓ).

Uitgewerkte voorbeeldTₙ = 2n + 4. Bepaal S₁₉

1
a = T₁ = 2(1) + 4 = 6, en d = 2.
Die koëffisiënt van n is die gemeenskaplike verskil.
2
S₁₉ = 19/2[2(6) + 18(2)].
Vervang in die rekenkundige somformule.
3
= 19/2[12 + 36] = 19/2(48).
4
= 456.

2Sigma-notasie

∑_n=1^k Tₙ = T₁ + T₂ + … + Tₖ

Die letter onder die ∑ is die teller en sy beginwaarde; die getal bo is waar dit stop. Aantal terme = bo − onder + 1.

Uitgewerkte voorbeeldBereken ∑_n=1²⁰ (3n − 1)

1
Dit is rekenkundig: a = 3(1) − 1 = 2, d = 3, n = 20.
20 − 1 + 1 = 20 terme.
2
S₂₀ = 20/2[2(2) + 19(3)] = 10[4 + 57].
3
= 10(61) = 610.

⚠️

∑_n=3¹⁰ het 8 terme, nie 7 nie — dit is 10 − 3 + 1. As jy die aantal terme verkeerd kry, verloor jy elke punt wat volg.

3Hoe om ’n reeks in sigma-notasie te skryf

Uitgewerkte voorbeeldSkryf 2 + 5 + 8 + … + 59 in sigma-notasie

1
Rekenkundig met a = 2, d = 3, dus Tₙ = 3n − 1.
a + (n − 1)d = 2 + 3n − 3.
2
Vind waar dit stop: 3n − 1 = 59 → n = 20.
3
∑_n=1²⁰ (3n − 1).

4Som tot oneindigheid en konvergensie

S_∞ = a/(1 − r) slegs wanneer −1 < r < 1

As |r| < 1, krimp die terme na nul toe, sodat die totaal op ’n vaste waarde tot rus kom — die reeks konvergeer. As |r| ≥ 1, nader die terme NIE nul nie, sodat die som nooit tot rus kom nie en die reeks divergeer. (Hulle hoef nie te groei nie: by r = 1 is elke term dieselfde, en by r = −1 wissel hulle net tussen +a en −a.)

Uitgewerkte voorbeeldBepaal S_∞ vir 8 + 4 + 2 + 1 + …

1
r = 4/8 = 1/2, en |r| < 1, dus konvergeer dit.
Noem altyd hierdie kontrole.
2
S_∞ = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2).
3
= 16.

Uitgewerkte voorbeeldVir watter waardes van x konvergeer ∑ 3(2x)^{n − 1}?

1
Hier is r = 2x.
Die grondtal van die mag is die verhouding.
2
Benodig −1 < 2x < 1.
Die konvergensievoorwaarde.
3
−1/2 < x < 1/2.
Deel deurgaans deur 2.

5Waar die somformules vandaan kom

Die ATP vra vir die afleiding, nie net die gebruik nie, en dit is eksamineerbaar. Albei afleidings is kort, en albei draai om een truuk.

Uitgewerkte voorbeeldLei Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d af vir ’n rekenkundige reeks.

1
Skryf die som vorentoe: Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l − d) + l
l is die laaste term, a + (n − 1)d.
2
Skryf dieselfde som agteruit: Sₙ = l + (l − d) + (l − 2d) + … + (a + d) + a
Dit is die truuk — die hele afleiding berus daarop.
3
Tel die twee lyne term vir term op: 2Sₙ = (a + l) + (a + l) + … + (a + l)
Elke paar tel op tot dieselfde totaal, omdat die d's uitkanselleer.
4
Daar is n sulke pare, dus 2Sₙ = n(a + l)
5
Sₙ = n/2 (a + l)
Die 'laaste term'-vorm — gebruik dit wanneer jy die laaste term ken.
6
Vervanging van l = a + (n − 1)d gee Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d
Die standaardvorm — gebruik dit wanneer jy a, d en n ken.

Uitgewerkte voorbeeldLei Sₙ = (a(rⁿ − 1))/(r − 1) af vir ’n meetkundige reeks.

1
Sₙ = a + ar + ar² + … + arⁿ⁻¹
2
Vermenigvuldig die hele lyn met r: rSₙ = ar + ar² + … + arⁿ⁻¹ + arⁿ
Die truuk hier — byna elke term verskyn nou in albei lyne.
3
Trek die eerste van die tweede af: rSₙ − Sₙ = arⁿ − a
Alles in die middel kanselleer uit.
4
Sₙ(r − 1) = a(rⁿ − 1)
Faktoriseer albei kante.
5
Sₙ = (a(rⁿ − 1))/(r − 1), r ≠ 1
Deling deur r − 1 vereis r ≠ 1 — noem dit.

Die som tot oneindigheid volg uit die tweede resultaat. Wanneer −1 < r < 1, rⁿ na 0 toe krimp soos n groei, verdwyn die rⁿ-term:

S_∞ = a/(1 − r), vir −1 < r < 1

💡

Onthou die twee truuks en jy kan enige afleiding herbou: skryf dit agteruit en tel op vir rekenkundig, vermenigvuldig met r en trek af vir meetkundig.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Die algemene term van ’n rekenkundige ry is Tₙ = 2n + 4. Bepaal T₁₀.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2(10) + 4 = 24
2
Bepaal die som van die eerste 19 terme van Tₙ = 2n + 4.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 6, d = 2. S₁₉ = 19/2[12 + 36] = 456
3
Bereken ∑_n=1²⁰ (3n − 1)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 2, d = 3, n = 20. S = 10[4 + 57] = 610
4
Hoeveel terme is daar in ∑_n=3¹⁰ Tₙ?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
10 − 3 + 1 = 8 terme
5
Skryf 2 + 5 + 8 + … + 59 in sigma-notasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Tₙ = 3n − 1 en 3n − 1 = 59 gee n = 20, dus ∑_n=1²⁰ (3n − 1)
6
Bepaal S_∞ vir 8 + 4 + 2 + 1 + …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
r = 1/2, dus S_∞ = 8/(1 − 1/2) = 16
7
Bepaal die waardes van x waarvoor ∑ 3(2x)^{n − 1} konvergeer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−1 < 2x < 1, dus −1/2 < x < 1/2
8
Bereken S₁₀ vir die meetkundige reeks 2 + 6 + 18 + …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 2, r = 3. S₁₀ = (2(3¹⁰ − 1))/2 = 59 048
9
Lei die formule Sₙ = n/2 (a + l) af vir ’n rekenkundige reeks.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Skryf Sₙ vorentoe en agteruit ✓; optel gee 2Sₙ = n(a + l) omdat elke paar optel tot a + l ✓✓; ∴ Sₙ = n/2 (a + l) ✓
10
Lei die formule af vir die som van die eerste n terme van ’n meetkundige reeks.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Sₙ = a + ar + … + arⁿ⁻¹; vermenigvuldig met r ✓; trek af om rSₙ − Sₙ = arⁿ − a te kry ✓; faktoriseer: Sₙ(r − 1) = a(rⁿ − 1) ✓; Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1 ✓
11
Verduidelik waarom die som tot oneindigheid slegs bestaan wanneer −1 < r < 1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Slegs dan nader rⁿ 0 soos n groei ✓, sodat die terme krimp en die totaal op ’n eindige waarde tot rus kom ✓