In enige reghoekige driehoek is a2 + b2 = c2. So gebruik jy dit om ’n ontbrekende sy te vind — en die een ding wat jy eers moet nagaan.
Ook bekend as: Pythagoras se stelling · Pythagoras-drietalle · reghoekige driehoek
Die stelling van Pythagoras is in Graad 8 bekendgestel; in Graad 9 hersien jy dit en gebruik dit binne groter figure — twee driehoeke wat aan mekaar verbind is, vierhoeke en bokse. Dit is een van die nuttigste resultate in die hele wiskunde. Dit sê dat in ’n reghoekige driehoek die kwadraat van die langste sy gelyk is aan die som van die kwadrate van die ander twee sye.
Hier is c die skuinssy — die sy teenoor die regte hoek, en altyd die langste. a en b is die twee korter sye.
1Die skuinssy bepaal
- 1Skryf die stelling: c2 = a2 + b2.Jy soek die langste sy, dus is c die onbekende.
- 2Vervang: c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.Kwadreer elke kort sy en tel op.
- 3Trek die vierkantswortel van albei kante: c = √25 = 5.Maak die kwadraat ongedaan om die lengte te kry.
2'n Korter sy bepaal
As die skuinssy bekend is en jy ’n korter sy wil hê, herrangskik: a2 = c2 − b2. Trek af in plaas daarvan om op te tel.
Tel net op wanneer jy die skuinssy soek. Om ’n korter sy te vind, moet jy die kwadrate aftrek. As jy dit verwar, kry jy ’n onmoontlike driehoek (of ’n wiskundefout).
- 1Die onbekende sy is NIE die skuinssy nie, dus trek af: a2 = 132 − 52.Die skuinssy is die langste sy, dus is sy kwadraat die grootste.
- 2a2 = 169 − 25 = 144.
- 3a = √144 = 12 cm.Kontroleer: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 ✓
3Is die driehoek reghoekig? (die omgekeerde)
Die stelling werk ook agteruit. As die kwadraat van die langste sy gelyk is aan die som van die kwadrate van die ander twee sye, is die driehoek reghoekig, en die regte hoek is teenoor die langste sy. As die twee totale verskil, is dit nie reghoekig nie.
- 1Die langste sy is AC = 17, dus AC2 = 289.Net die langste sy kan die skuinssy wees.
- 2AB2 + BC2 = 64 + 225 = 289.Tel die kwadrate van die ander twee sye bymekaar.
- 3AB2 + BC2 = AC2, dus is △ABC reghoekig by B, teenoor AC.Rede: omgekeerde van Pythagoras.
4Twee reghoekige driehoeke in een figuur
Graad 9-figure verbind dikwels twee reghoekige driehoeke langs ’n gemeenskaplike sy. Werk in een driehoek op ’n slag, en gebruik wat jy in die eerste driehoek vind in die tweede.
- 1BC = BD + DC = 3 + 5 = 8 cm.Die onderste sy word deur albei driehoeke gedeel.
- 2In △ABC: AC2 = AB2 + BC2 = 36 + 64 = 100, dus AC = 10 cm.Pythagoras in die groot driehoek (regte hoek by B).
- 3In △ABD: AD2 = AB2 + BD2 = 36 + 9 = 45, dus AD = √45 ≈ 6,71 cm.Dieselfde regte hoek by B behoort ook aan die klein driehoek.
5Dit twee keer gebruik: die hoeklyn van ’n boks
- 1Hoeklyn van die basis: AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 32 = 45.Die vloer is ’n reghoek, dus is AC die skuinssy van reghoekige △ABC. Hou AC2 = 45 — dit is nie nodig om AC af te rond nie.
- 2CG staan reguit op vanaf C, dus is △ACG reghoekig by C.’n Vertikale rand is loodreg op die vloer.
- 3AG2 = AC2 + CG2 = 45 + 22 = 49, dus AG = 7 cm.Pythagoras ’n tweede keer, in die regop driehoek.
Pythagoras werk net in ’n reghoekige driehoek. Kontroleer altyd dat daar ’n hoek van 90° is voordat jy dit gebruik.
Hierdie stelling keer terug in die analitiese meetkunde van Graad 10–12 (die afstandsformule is Pythagoras in vermomming) en in trigonometrie, dus is dit die moeite werd om dit nou te bemeester.
Oefeninge
Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.
- 1’n Reghoekige driehoek het reghoeksye van 6 en 8. Bepaal die skuinssy.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c2 = 36 + 64 = 100 → c = 10 - 2Reghoeksye van 5 en 12 — bepaal die skuinssy.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c2 = 25 + 144 = 169 → c = 13 - 3Skuinssy 10, een reghoeksy 6. Bepaal die ander reghoeksy.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
b2 = 100 − 36 = 64 → b = 8 - 4Is ’n driehoek met sye 3, 4, 6 reghoekig?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
32 + 42 = 25, maar 62 = 36 — nie gelyk nie, dus nee
Vinnige vasvra
5 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.
Oefen dit nou
Laai Graad 9-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).