Vergelykings oplos deur faktorisering — Graad 9 en 10 (KABV)

Die nulproduk-reël, die oplos van vergelykings van die vorm (x + a)(x + b) = 0, eers faktoriseer wanneer die vergelyking nog nie in daardie vorm is nie, en die deling van ’n polinoom deur ’n eenterm.

Alles tot dusver het een antwoord gehad. Sodra ’n vergelyking ’n x² bevat, kan dit twee hê, en die sleutel is ’n enkele idee oor nul.

1Die nulproduk-reël

As A × B = 0, dan is A = 0 of B = 0.

As twee dinge vermenigvuldig om nul te gee, moet minstens een van hulle nul wees — daar is geen ander manier om 0 te bereik nie. Dit is die enigste reël wat jy nodig het.

⚠️

Dit werk net vir nul. As (x + 1)(x + 2) = 6, mag jy nie sê x + 1 = 6 of x + 2 = 6 nie. Skuif eers alles na een kant sodat die ander kant 0 is.

2Wanneer dit reeds gefaktoriseer is

Uitgewerkte voorbeeldLos op: (x − 3)(x + 5) = 0

1
Stel elke hakie gelyk aan nul: x − 3 = 0 of x + 5 = 0.
Die nulproduk-reël.
2
x = 3 of x = −5.
Los elke klein vergelyking op.
3
Kontroleer: (3 − 3)(3 + 5) = 0 × 8 = 0 ✓
As jy terugvervang, bevestig dit albei wortels.

3Faktoriseer eers

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x² + 7x + 12 = 0

1
Die regterkant is reeds 0, dus faktoriseer die linkerkant.
2
Twee getalle wat vermenigvuldig tot 12 en optel tot 7: 3 en 4.
x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
3
(x + 3)(x + 4) = 0, dus x = −3 of x = −4.
Let op dat die tekens omdraai wanneer jy oplos.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x² − 5x = 0

1
Haal die gemeenskaplike faktor uit: x(x − 5) = 0.
Gemeenskaplike faktor eerste, altyd.
2
x = 0 of x − 5 = 0.
3
x = 0 of x = 5.
Moenie albei kante deur x deel NIE — jy sou die wortel x = 0 verloor.

⚠️

Moenie albei kante deur x deel wanneer x 0 kan wees nie. As jy x² = 5x deur x deel, kry jy net x = 5 en gooi jy x = 0 stilweg weg. Skuif eerder alles na een kant en faktoriseer: x(x − 5) = 0, dus x = 0 of x = 5. Om deur x te deel, is eers veilig wanneer jy weet x ≠ 0 — of nadat jy x = 0 afsonderlik nagegaan het.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x² − 16 = 0

1
Herken ’n verskil van twee kwadrate.
x² − 16 = x² − 4².
2
(x − 4)(x + 4) = 0.
3
x = 4 of x = −4.

4’n Polinoom deur ’n eenterm deel

Die Graad 9-ATP vra ook dat jy ’n hele uitdrukking deur ’n enkele term deel. Deel elke term afsonderlik.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (12x³ − 8x² + 4x) ÷ 4x

1
Versprei die deling oor elke term.
Elke term word op sy eie deur 4x gedeel.
2
12x³ ÷ 4x = 3x²; −8x² ÷ 4x = −2x; 4x ÷ 4x = 1.
Deel die getalle, trek die eksponente af.
3
Antwoord: 3x² − 2x + 1.
Die laaste term gee 1, nie 0 nie — ’n baie algemene glips.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los op: (x − 2)(x + 6) = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 2 of x = −6
2
Los op: (x + 1)(x − 7) = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = −1 of x = 7
3
Los op: x² + 5x + 6 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x + 2)(x + 3) = 0 → x = −2 of x = −3
4
Los op: x² − 7x + 10 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 2)(x − 5) = 0 → x = 2 of x = 5
5
Los op: x² − 3x = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x(x − 3) = 0 → x = 0 of x = 3
6
Los op: x² − 25 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 5)(x + 5) = 0 → x = 5 of x = −5
7
Waarom mag jy nie x² = 4x deur x deel nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Jy sou die wortel x = 0 verloor.
8
Vereenvoudig: (10x³ + 5x²) ÷ 5x
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x² + x
9
Vereenvoudig: (12x³ − 8x² + 4x) ÷ 4x
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3x² − 2x + 1