π
∞
∑
∫
θ
E = mc²
y = mx+b
√
Δ
φ
∇
λ
Tuis›Lesse›Graad 9
Graad 9 · Transformasiemeetkunde · 10 min. leestyd

Transformasiemeetkunde (Graad 9)

Hele figure op die Cartesiese vlak reflekteer, transleer, roteer, vergroot en verklein, die koördinaatreëls vir elkeen, terugwerk vanaf ’n beeld, en die effek van vergroting op omtrek en oppervlakte.

Ook bekend as: translasie, refleksie, rotasie · vergroting · dilatasie

Graad 8 het enkele punte getransformeer. Graad 9 transformeer hele figure — en die truuk is eenvoudig: transformeer elke hoekpunt met die koördinaatreël, en verbind hulle dan weer. Die vorm sorg vir homself.

1Die koördinaatreëls

Refleksie in die x-as: (x ; y) → (x ; −y)
Refleksie in die y-as: (x ; y) → (−x ; y)
Refleksie in die lyn y = x: (x ; y) → (y ; x)
Rotasie van 90° kloksgewys om die oorsprong: (x ; y) → (y ; −x)
Rotasie van 90° anti-kloksgewys om die oorsprong: (x ; y) → (−y ; x)
Rotasie van 180° om die oorsprong: (x ; y) → (−x ; −y)
’n Draai van 270° is dieselfde kwartdraai in die ander rigting: 270° kloksgewys = 90° anti-kloksgewys, en 270° anti-kloksgewys = 90° kloksgewys.
💡

Onthou watter letter verander: refleksie in die x-as verander die y-waarde, en refleksie in die y-as verander die x-waarde. Dit voel agterstevoor, en dit is presies waarom dit geëksamineer word.

2’n Hele figuur reflekteer

xyAA′reflekteer die hele figuur in die y-as
Elke hoekpunt word gereflekteer, en dan word die beeld verbind. Die beeld is kongruent met die oorspronklike — dieselfde grootte, dieselfde vorm.
Uitgewerkte voorbeeldReflekteer △A met hoekpunte (1 ; 1), (4 ; 1), (1 ; 4) in die y-as
−5−4−3−2−112345−112345AA′xyrefleksie in die y-as verander die teken van x
  1. 1
    Pas (x ; y) → (−x ; y) op elke hoekpunt toe.
    Refleksie in die y-as verander die teken van x.
  2. 2
    (1 ; 1) → (−1 ; 1), (4 ; 1) → (−4 ; 1), (1 ; 4) → (−1 ; 4).
  3. 3
    Verbind die drie beeldpunte om △A′ te teken.
    Die beeld is kongruent met die oorspronklike.

3’n Figuur transleer

xyAA′transleer 2 na regs en 4 af
’n Translasie skuif elke punt dieselfde afstand in dieselfde rigting.
Uitgewerkte voorbeeldTransleer (5 ; 3) 2 na links en 4 op
xy3537O24P(5 ; 3)P′(3 ; 7)
  1. 1
    Links beteken trek af van x: 5 − 2 = 3.
    Links/af trek af; regs/op tel by.
  2. 2
    Op beteken tel by y: 3 + 4 = 7.
  3. 3
    Beeld: (3 ; 7).

4Rotasie om die oorsprong — en om ’n ander punt

’n Rotasie draai die figuur om ’n punt. Die meeste vrae draai om die oorsprong, maar die ATP vra ook dat jy om ’n gegewe punt roteer — die laaste voorbeeld in hierdie afdeling wys hoe. Die draaie is veelvoude van ’n kwartdraai: 90°, 180° en 270°. Kyk eerder wat een kwartdraai op die rooster doen as om vier aparte reëls te memoriseer:

xy−4−4−2−22244P(3 ; 2)(2 ; −3) 90° kgw(−2 ; 3) 90° akgw(−3 ; −2) 180°
Een punt, drie rotasies om die oorsprong. ’n Kwartdraai ruil die twee koördinate om en verander EEN teken; ’n halwe draai verander albei tekens en ruil niks om nie.
Uitgewerkte voorbeeldRoteer P(3 ; 2) 90° KLOKSGEWYS om die oorsprong
xy3−32OP(3 ; 2)P′(2 ; −3)
  1. 1
    Ruil die koördinate om: (3 ; 2) word (2 ; 3).
    ’n Kwartdraai ruil hulle altyd om — wat dwars was, word op, en wat op was, word dwars.
  2. 2
    Kloksgewys, dus maak die nuwe y-koördinaat negatief: (2 ; −3).
    Die reël is (x ; y) → (y ; −x).
  3. 3
    Beeld: (2 ; −3).
    Kontroleer op die skets: P is bo en regs; ’n kwartdraai kloksgewys laat dit onder en regs beland.
💡

Watter teken verander? Draai die bladsy en kyk na die kwadrant. Kloksgewys vanaf die eerste kwadrant beland jy in die vierde (x positief, y negatief), dus hoort die minus op die tweede koördinaat. Anti-kloksgewys beland jy in die tweede kwadrant, dus hoort die minus op die eerste. Om die kwadrant na te gaan, is beter as om die reël te memoriseer.

⚠️

Om 90° te roteer sonder om die koördinate om te ruil. Net die 180°-reël hou x en y op hulle plek — elke kwartdraai ruil hulle eers om, en verander DAN een teken.

Uitgewerkte voorbeeldRoteer P(4 ; 3) 90° KLOKSGEWYS om C(1 ; 1)
xy34−23OC(1 ; 1)P(4 ; 3)P′(3 ; −2)
  1. 1
    Meet P vanaf C: P is 3 na regs en 2 op vanaf C, dus gebruik (3 ; 2).
    Trek C van P af: (4 − 1 ; 3 − 1). C speel nou die rol van die oorsprong.
  2. 2
    Roteer (3 ; 2) ’n kwartdraai kloksgewys: (2 ; −3).
    Die gewone reël (x ; y) → (y ; −x).
  3. 3
    Tel C weer by: (2 + 1 ; −3 + 1) = (3 ; −2).
    Kontroleer: CP en CP′ is albei √13 lank, en hulle vorm ’n regte hoek met mekaar.

5Terugwerk vanaf die beeld

Uitgewerkte voorbeeld’n Punt word in die x-as gereflekteer en sy beeld is (6 ; −2). Bepaal die oorspronklike punt
xy246−22OA′(6 ; −2)A(6 ; ?)
  1. 1
    Die reël is (x ; y) → (x ; −y).
  2. 2
    Om dit om te keer, verander die teken van y weer.
    Refleksies maak hulself ongedaan.
  3. 3
    Die oorspronklike punt was (6 ; 2).
    Kontroleer: refleksie van (6 ; 2) in die x-as gee (6 ; −2) ✓

6Vergrotings en verkleinings

’n Vergroting vanaf die oorsprong met skaalfaktor k vermenigvuldig elke koördinaat met k. Anders as die ander transformasies verander hierdie een die grootte, dus is die beeld gelykvormig, maar nie kongruent nie.

xyAA′vergroot met skaalfaktor 2 vanaf die oorsprong
Vergroting met faktor 2 vanaf die oorsprong: elke koördinaat word verdubbel.
Vergroting met faktor k: (x ; y) → (kx ; ky)
Omtrek × k  ·  Oppervlakte × k2
Uitgewerkte voorbeeld’n Reghoek van 4 cm by 3 cm word met skaalfaktor 3 vergroot. Bepaal die nuwe omtrek en oppervlakte
4 cm3 cm12 cm9 cm× 3
  1. 1
    Nuwe sye: 4 × 3 = 12 cm en 3 × 3 = 9 cm.
    Lengtes word met k vermenigvuldig.
  2. 2
    Nuwe omtrek = 2(12 + 9) = 42 cm.
    Die oorspronklike was 2(4 + 3) = 14, en 14 × 3 = 42 ✓
  3. 3
    Nuwe oppervlakte = 12 × 9 = 108 cm2.
    Die oorspronklike was 12 cm2, en 12 × 32 = 108 ✓
⚠️

Oppervlakte skaal nie met k nie — dit skaal met k2. Om met 3 te vergroot, maak die oppervlakte 9 keer so groot, nie 3 keer nie.

💡

Refleksies, translasies en rotasies lewer kongruente beelde (grootte onveranderd). Net vergrotings en verkleinings verander die grootte en gee ’n gelykvormige beeld.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart✅ Memo📝 Eksamenvraestel🗝️ Nasienriglyn
  1. 1
    Reflekteer (3 ; 5) in die x-as.
    Wys antwoord ▾
    (3 ; −5)
  2. 2
    Reflekteer (−2 ; 7) in die y-as.
    Wys antwoord ▾
    (2 ; 7)
  3. 3
    Reflekteer (4 ; 1) in die lyn y = x.
    Wys antwoord ▾
    (1 ; 4)
  4. 4
    Roteer (3 ; −6) deur 180° om die oorsprong.
    Wys antwoord ▾
    (−3 ; 6)
  5. 5
    Roteer (4 ; 1) deur 90° KLOKSGEWYS om die oorsprong.
    Wys antwoord ▾
    Ruil om, en maak dan die tweede koördinaat negatief: (x ; y) → (y ; −x) (1)
    (1 ; −4) (1)
  6. 6
    Roteer (−2 ; 5) deur 90° ANTI-KLOKSGEWYS om die oorsprong.
    Wys antwoord ▾
    (x ; y) → (−y ; x) (1)
    (−5 ; −2) (1)
  7. 7
    Roteer (3 ; −1) deur 270° kloksgewys om die oorsprong.
    Wys antwoord ▾
    270° kloksgewys is dieselfde as 90° anti-kloksgewys (1)
    (x ; y) → (−y ; x), dus is die beeld (1 ; 3) (1)
  8. 8
    Transleer (5 ; 3) 2 na links en 4 op.
    Wys antwoord ▾
    (3 ; 7)
  9. 9
    ’n Punt word in die x-as gereflekteer; sy beeld is (6 ; −2). Bepaal die oorspronklike punt.
    Wys antwoord ▾
    (6 ; 2)
  10. 10
    Vergroot (3 ; −4) met skaalfaktor 3 vanaf die oorsprong.
    Wys antwoord ▾
    (9 ; −12)
  11. 11
    ’n Reghoek van 4 cm × 3 cm word met faktor 3 vergroot. Bepaal die nuwe oppervlakte.
    Wys antwoord ▾
    12 × 32 = 108 cm2
  12. 12
    Watter transformasies laat die figuur kongruent?
    AA′translasie: 7 na regs en 2 af
    Wys antwoord ▾
    Refleksie, translasie en rotasie (vergroting verander die grootte).
🧠

Vinnige vasvra

6 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.

Oefen dit nou

Laai Graad 9-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).

Na Graad 9-vraestelle →

Meer lesse

➗
Graad 9 · Algebraïese uitdrukkings
Algebraïese breuke (Graad 9)
📐
Graad 8–9 · Meetkunde van reguit lyne
Hoeke by ewewydige lyne: die volledige eksamengids
📐
Graad 9 · Oppervlakte en omtrek van 2D-vorms
Oppervlakte en omtrek van 2D-vorms (Graad 9)
📊
Graad 9 · Datahantering
Data insamel, organiseer en opsom (Graad 9)