Analitiese meetkunde — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die drie kernformules — afstand, middelpunt, gradiënt — en die maniere waarop Graad 10-eksamens hulle gebruik: ewewydige en loodregte lyne, saamlynige punte, en ’n onbekende koördinaat vind, elkeen volledig uitgewerk met ’n werkblad.

Analitiese (koördinaat-)meetkunde bepaal meetkundige feite met algebra deur punte op die Cartesiese vlak te plaas. Byna elke vraag gebruik een van drie formules, toegepas op twee punte (x₁ ; y₁) en (x₂ ; y₂). Hierdie gids dek die formules en elke soort vraag wat daarop gebou is.

1Die drie formules

Afstand d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Middelpunt M = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 ) • Gradiënt m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) (x₂ ≠ x₁)

Afstand gebruik die horisontale gaping Δx en vertikale gaping Δy (Pythagoras); gradiënt is Δy ÷ Δx.

2Soort 1: Afstand, middelpunt en gradiënt van twee punte

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: A(1 ; 2) en B(4 ; 6)

1
Afstand: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Pythagoras op die horisontale gaping (3) en vertikale gaping (4).
2
Middelpunt: (1 + 4)/2 , (2 + 6)/2 = (2,5 ; 4).
Bereken die gemiddeld van elke koördinaat.
3
Gradiënt: m = (6 − 2)/(4 − 1) = 4/3.
Styging oor loop — hou die punte in dieselfde volgorde.

3Soort 2: Ewewydige lyne (gelyke gradiënte)

Twee lyne is ewewydig wanneer hulle gradiënte gelyk is.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: is die lyn deur A(0 ; 1), B(2 ; 5) ewewydig aan dié deur C(1 ; 0), D(3 ; 4)?

1
Gradiënt van AB: (5 − 1)/(2 − 0) = 4/2 = 2.
Bepaal elke gradiënt.
2
Gradiënt van CD: (4 − 0)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
3
Gelyke gradiënte (albei 2) → die lyne is ewewydig.

4Soort 3: Loodregte lyne (gradiënte vermenigvuldig tot −1)

Twee lyne is loodreg wanneer hulle gradiënte vermenigvuldig tot −1 (elkeen is die negatiewe omgekeerde van die ander). Een uitsondering: ’n vertikale lyn het geen gradiënt nie, dus kan die produkreël nie daarvoor gebruik word nie: ’n lyn loodreg op ’n vertikale lyn is horisontaal (gradiënt 0), en andersom. Vir twee lyne wat nie vertikaal is nie, beteken loodreg m₁ × m₂ = −1.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: ’n lyn het gradiënt 3. Watter gradiënt is loodreg daarop?

1
Loodregte gradiënt × 3 = −1.
Die produk van loodregte gradiënte is −1.
2
Dus is die loodregte gradiënt = −1/3.
Die negatiewe omgekeerde van 3.

5Soort 4: Saamlynige punte (op dieselfde reguit lyn)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: is A(1 ; 2), B(3 ; 6), C(5 ; 10) saamlynig?

1
Gradiënt AB: (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
Punte is saamlynig as die gradiënte tussen hulle gelyk is.
2
Gradiënt BC: (10 − 6)/(5 − 3) = 4/2 = 2.
3
Gelyke gradiënte → die drie punte is saamlynig.
Hulle lê op een reguit lyn.

6Soort 5: Bepaal ’n onbekende koördinaat

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: die middelpunt van A(2 ; 3) en B(x ; 9) is (5 ; 6). Bepaal x

1
Die middelpunt se x-waarde: (2 + x)/2 = 5.
Gebruik die middelpuntformule op die x-koördinate.
2
2 + x = 10 → x = 8.
Los die vergelyking op.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 6: die afstand van (0 ; 0) na (x ; 4) is 5. Bepaal x (x > 0)

1
√((x − 0)² + (4 − 0)²) = 5 → x² + 16 = 25.
Kwadreer albei kante om die wortel te verwyder.
2
x² = 9 → x = 3.
Neem die positiewe wortel (gegee x > 0).

💡

Ewewydig → gelyke gradiënte; loodreg → gradiënte vermenigvuldig tot −1. Hierdie twee feite ontsluit die meeste ‘bewys dit’-vrae oor vorms (bv. om te toon dat ’n vierhoek ’n reghoek is).

⚠️

Hou die punte in dieselfde volgorde bo en onder in die gradiëntbreuk. As jy net x of net y omruil, draai die teken om en kry jy die verkeerde gradiënt.

Analitiese meetkunde brei in Graad 11–12 uit na lyne, sirkels en raaklyne, alles gebou op hierdie drie formules. Bemeester elke soort hieronder.

7’n Vorm uit sy koördinate bewys

Die ATP vra dat jy vierhoeke op die Cartesiese vlak voorstel en dan bewys wat hulle is. Jy het reeds elke stuk gereedskap: afstand besluit of sye gelyk is, gradiënt besluit of hulle ewewydig of loodreg is, en die middelpunt besluit of hoeklyne mekaar halveer.

Twee sye gelyk? → afstandsformule op albei.
Twee sye ewewydig? → gradiënte gelyk.
Loodreg? → die produk van die gradiënte is −1.
Halveer die hoeklyne mekaar? → albei hoeklyne het dieselfde middelpunt.

Uitgewerkte voorbeeldA(1 ; 2), B(5 ; 4), C(7 ; 8) en D(3 ; 6). Bewys dat ABCD ’n parallelogram is.

1
m(AB) = (4 − 2)/(5 − 1) = 2/4 = ½
Gradiënt van een sy.
2
m(DC) = (8 − 6)/(7 − 3) = 2/4 = ½
Die teenoorstaande sy.
3
AB ∥ DC
Gelyke gradiënte.
4
AB = √((5 − 1)² + (4 − 2)²) = √20 en DC = √((7 − 3)² + (8 − 6)²) = √20
Afstandsformule op dieselfde paar.
5
∴ ABCD is ’n parallelogram
Een paar teenoorstaande sye gelyk EN ewewydig.

💡

Bewys die goedkoopste voorwaarde. Hoeklyne wat mekaar halveer, vereis net twee middelpunte. Een paar teenoorstaande sye wat gelyk en ewewydig is, vereis twee gradiënte en twee afstande. Vier gelyke sye bewys dit ook — ’n vierhoek met al vier sye gelyk is ’n ruit, en elke ruit is ’n parallelogram — maar dit verg vier afstandsberekeninge.

⚠️

Om die vorm te bepaal deur na die gestipte punte te kyk. ’n Skets is net vir oriëntasie — die punte is vir die berekening. En kontroleer dat die hoekpunte in volgorde om die vorm gegee is: A, B, C, D beteken AB en DC is die teenoorstaande paar, nie AB en CD omgekeer nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Afstand tussen (1 ; 1) en (4 ; 5). (afstand)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√(9 + 16) = √25 = 5
2
Afstand tussen (−2 ; 1) en (1 ; 5). (afstand)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√(9 + 16) = 5
3
Middelpunt van (2 ; 4) en (6 ; 10). (middelpunt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(2 + 6)/2,(4 + 10)/2 = (4 ; 7)
4
Gradiënt van die lyn deur (1 ; 2) en (5 ; 10). (gradiënt)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(10 − 2)/(5 − 1) = 2
5
Is gradiënte 3 en 3 ewewydig of loodreg? (ewewydig)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Gelyk → ewewydig
6
Watter gradiënt is loodreg op gradiënt 2? (loodreg)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−1/2 (negatiewe omgekeerde)
7
Watter gradiënt is loodreg op gradiënt −3/4? (loodreg)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4/3
8
Is (0 ; 0), (2 ; 4), (3 ; 6) saamlynig? (saamlynig)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Gradiënte 2 en 2 → Ja
9
Die middelpunt van (1 ; 2) en (x ; 8) is (4 ; 5). Bepaal x. (onbekende)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(1 + x)/2 = 4 → x = 7
10
Die afstand van (0 ; 0) na (x ; 12) is 13 (x > 0). Bepaal x. (onbekende)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² + 144 = 169 → x = 5
11
P(−1 ; 1), Q(3 ; 3), R(5 ; 7) en S(1 ; 5) is die hoekpunte van ’n vierhoek. Bewys dat PQRS ’n parallelogram is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
m(PQ) = 2/4 = ½ ✓; m(SR) = 2/4 = ½ ✓, dus PQ ∥ SR; PQ = √20 en SR = √20 ✓; ∴ parallelogram (een paar teenoorst. sye gelyk en ewewydig) ✓
12
A(0 ; 0), B(4 ; 2) en C(2 ; 6). Toon dat AB ⊥ BC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
m(AB) = 2/4 = ½ ✓; m(BC) = (6 − 2)/(2 − 4) = −2 ✓; ½ × (−2) = −1, dus AB ⊥ BC ✓
13
Die hoeklyne van vierhoek KLMN is KM en LN. K(1 ; 1), L(6 ; 2), M(7 ; 6), N(2 ; 5). Toon dat die hoeklyne mekaar halveer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Middelpunt KM = (4 ; 3,5) ✓; middelpunt LN = (4 ; 3,5) ✓; die middelpunte is dieselfde, dus halveer die hoeklyne mekaar ✓