Euklidiese meetkunde-ruiters — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die vraag wat die meeste punte in Vraestel 2 dra — hoeke met redes bepaal en resultate bewys. Die dissipline van stelling en rede, elke rede wat ’n Graad 10 mag aanhaal, hoe om ’n diagram te lees voordat jy iets skryf, en vier volledige ruiters van die eerste reël tot die gevolgtrekking uitgewerk.

Ook bekend as: ruiters · meetkundebewyse · bewys met redes · stelling en rede · Euklidiese meetkunde graad 10

’n Ruiter is ’n meetkundevraag wat jou ’n diagram gee en jou vra om iets uit te werk — of iets te bewys — deur stellings een na die ander toe te pas. In ’n vraestel lyk dit soos “Bepaal, met redes, die grootte van x” of “Bewys dat ABCD ’n parallelogram is”.

Ruiters dra meer punte as enige ander deel van Vraestel 2, en dit is waar die meeste punte verloor word — nie omdat leerders nie die antwoord kan sien nie, maar omdat hulle dit nie kan regverdig nie. Hierdie les gaan oor die regverdiging.

1Die een reël wat jou punt bepaal

Elke stelling wat jy skryf, het ’n rede nodig. ’n Korrekte hoek sonder ’n rede verdien die stellingpunt en verloor die redepunt — gewoonlik die helfte van die vraag.

Stelling → waarom dit waar is

Skryf dit elke keer as ’n reël met twee dele:

AD̂E = 70° (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC) — korrek, albei punte.
AD̂E = 70° — korrekte antwoord, die helfte van die punte.
AD̂E = 70° (hulle lyk dieselfde) — geen redepunt nie. Meting of skatting met die oog is nooit ’n rede nie.

⚠️

Die duurste gewoonte in Graad 10-meetkunde is om die hele ruiter korrek in jou kop te doen en net die antwoorde neer te skryf. Die nasienriglyn betaal vir die ketting van redenasie. As ’n nasiener nie kan volg hoe jy van die gegewe inligting by die antwoord uitgekom het nie, is daar nie punte om te gee nie.

2Die redes wat jy in Graad 10 mag aanhaal

Jy mag net ’n resultaat gebruik wat bewys is. Dit is dié wat vir jou beskikbaar is, met die presiese bewoording om tussen hakies te skryf:

Lyne: ∠e op ’n reguit lyn (tel op tot 180°) · ∠e om ’n punt (360°) · regoorst. ∠e
Ewewydige lyne: ooreenk. ∠e; AB ∥ CD · verwis. ∠e; AB ∥ CD · ko-binne ∠e; AB ∥ CD (tel op tot 180°)
Driehoeke: ∠e van ’n △ (tel op tot 180°) · buite∠ van ’n △ · ∠e teenoor gelyke sye · sye teenoor gelyke ∠e · Pythagoras
Kongruensie: SSS · SHS · HHS · RSS — dan △ABC ≡ △PQR, en ooreenstemmende dele volg met ≡△e
Gelykvormigheid: HHH (gelykhoekig) · sye in verhouding — dan △ABC ||| △PQR
Vierhoeke: teenoorst. sye van parm · teenoorst. ∠e van parm · hoeklyne van parm · die vyf toetse om ’n parallelogram te bewys
Middelpuntstelling: die lyn wat die middelpunte van twee sye verbind, is ewewydig aan die derde sy en die helfte van sy lengte — en die omgekeerde daarvan

💡

Nasieners aanvaar die standaardafkortings, en hulle is baie vinniger om te skryf. Leer hulle nou: ooreenk. ∠e, verwis. ∠e, ko-binne ∠e, regoorst. ∠e, ∠e van ’n △, buite∠ van ’n △. Wanneer jy ’n rede vir ewewydige lyne aanhaal, moet jy ook die ewewydige lyne noem — “ooreenk. ∠e” alleen is onvolledig.

3Hoe om ’n ruiter aan te pak

Merk die diagram. Skryf elke gegewe grootte daarop. Sit pyltjies op ewewydige lyne en merkies op gelyke sye. ’n Ruiter wat jy gemerk het, is half opgelos.
Vind wat gevra word en kyk wat daaraan raak. Watter hoek lê saam daarmee op ’n reguit lyn? In watter driehoek is dit?
Werk vanaf die gegewe inligting, nie vanaf die antwoord nie. Begin by ’n grootte wat jy ken en neem een geregverdigde stap op ’n slag.
Aanvaar nooit iets op grond van hoe die diagram lyk nie. Lyne wat gelyk, ewewydig of loodreg lyk, is dit nie, tensy jy so meegedeel word of dit bewys.
Gebruik jou vroeëre antwoorde. ’n Ruiter word doelbewus in dele gebou — 4.1 is byna altyd die ingang tot 4.2.

4Ruiter 1 — hoeke met redes

In △ABC lê D op AB en E op AC met DE ∥ BC. Â = 50° en B̂ = 70°.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal, met redes, die grootte van AD̂E en van Ĉ.

1
AD̂E = 70°
ooreenk. ∠e; DE ∥ BC
2
Ĉ = 180° − 50° − 70° = 60°
∠e van ’n △
3
Kontrole: AÊD = 60° (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC), en 50° + 70° + 60° = 180° ✓
’n Vinnige kontrole binne die klein driehoek vang ’n rekenfout.

Let op hoe kort die bewerking is sodra die redes op hul plek is. Dit is hoe ’n ruiter met volpunte lyk — nie meer skryfwerk nie, maar die regte skryfwerk.

5Ruiter 2 — kongruensie gebruik

ABCD is ’n parallelogram met hoeklyn AC getrek.

Uitgewerkte voorbeeldBewys dat △ABC ≡ △CDA.

1
AB = DC
teenoorst. sye van parm
2
BC = AD
teenoorst. sye van parm
3
AC = CA
gemeenskaplike sy — die stap wat leerders vergeet
4
∴ △ABC ≡ △CDA
SSS
5
Dit volg dat AB̂C = AD̂C.
≡△e — ooreenstemmende hoeke van kongruente driehoeke is gelyk

⚠️

Om die hoekpunte in die verkeerde volgorde te skryf. △ABC ≡ △CDA sê A pas by C, B by D en C by A. As jy △ABC ≡ △ACD skryf, het jy ’n ander paring beweer, en elke gevolgtrekking wat jy daaruit maak, is verkeerd. Laat die letters by die gelyke dele pas, in volgorde.

6Ruiter 3 — bewys dat ’n vierhoek ’n parallelogram is

Daar is vyf aanvaarde maniere. Jy het een daarvan nodig, bewys — nie net beweer nie:

Albei pare teenoorstaande sye is ewewydig.
Albei pare teenoorstaande sye is gelyk.
Albei pare teenoorstaande hoeke is gelyk.
Een paar teenoorstaande sye is sowel gelyk AS ewewydig.
Die hoeklyne halveer mekaar.

Uitgewerkte voorbeeldPQRS het PQ ∥ SR en PQ = SR. Bewys dat PQRS ’n parallelogram is.

1
PQ ∥ SR
gegee
2
PQ = SR
gegee
3
∴ PQRS is ’n parallelogram
een paar teenoorst. sye gelyk en ewewydig

💡

Die vierde toets is die een waarna eksaminatore die meeste gryp, omdat dit die minste inligting nodig het. As ’n vraag vir jou een paar sye gee wat sowel gelyk as ewewydig is, is dit byna seker die roete wat hulle bedoel.

⚠️

Om ’n eienskap van ’n parallelogram te gebruik om te bewys dat die vorm een is. Jy kan nie “teenoorst. sye van parm” as ’n rede skryf in ’n bewys waarvan die gevolgtrekking is dat die vorm ’n parallelogram is nie — dit aanvaar wat jy gevra word om te bewys. Eienskappe is wat jy kry nadat die vorm vasgestel is.

7Ruiter 4 — die middelpuntstelling

Die middelpuntstelling gee jou twee gevolgtrekkings uit een voorwaarde, en ’n ruiter sal gewoonlik albei wil hê.

As D en E die middelpunte van AB en AC is, dan is DE ∥ BC en DE = ½BC

Uitgewerkte voorbeeldIn △ABC is D en E die middelpunte van AB en AC. BC = 18 cm en AB̂C = 64°. Bepaal DE en AD̂E, met redes.

1
DE = ½ × 18 = 9 cm
middelpuntstelling
2
DE ∥ BC
middelpuntstelling
3
AD̂E = 64°
ooreenk. ∠e; DE ∥ BC

Die omgekeerde word ook geëksamineer, en dit werk andersom: as ’n lyn deur die middelpunt van een sy ewewydig is aan ’n tweede sy, dan halveer dit die derde sy. Gebruik dit wanneer jy ’n middelpunt en ’n ewewydige lyn gegee word en gevra word om te bewys dat iets ’n middelpunt is.

8Hoe ’n antwoord met volpunte lyk

Een stelling per reël, met sy rede tussen hakies op dieselfde reël.
Elke rede vir ewewydige lyne noem die ewewydige lyne.
Kongruente driehoeke met ooreenstemmende hoekpunte in volgorde geskryf.
Die laaste reël beantwoord die vraag wat werklik gevra is, in die eenhede wat gevra is.
Niks aanvaar op grond van hoe die diagram lyk nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die rede neer wat jy vir die stelling “x = 65°” sou aanhaal as die twee hoeke aan teenoorgestelde kante van ’n snylyn lê, tussen twee ewewydige lyne AB en CD.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
verwis. ∠e; AB ∥ CD
2
Waarom is ’n korrekte hoek wat sonder ’n rede geskryf is, gewoonlik net die helfte van die punte werd?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die nasienriglyn ken ’n punt vir die stelling en ’n aparte punt vir die rede toe; sonder die rede kan die tweede punt nie gegee word nie. ✓✓
3
In △PQR is ST ∥ QR met S op PQ en T op PR. P̂ = 44° en Q̂ = 76°. Bepaal, met redes, die grootte van PŜT.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
PŜT = 76° ✓ (ooreenk. ∠e; ST ∥ QR) ✓✓
4
Bepaal, met ’n rede, die grootte van R̂ in dieselfde driehoek.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
R̂ = 180° − 44° − 76° ✓ = 60° ✓ (∠e van ’n △) ✓
5
Lys die VIER voorwaardes vir kongruensie en sê watter een net vir reghoekige driehoeke geld.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
SSS, SHS, HHS en RSS ✓✓✓; RSS geld net vir reghoekige driehoeke ✓
6
ABCD is ’n parallelogram met hoeklyn BD getrek. Bewys dat △ABD ≡ △CDB.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
AB = CD ✓ (teenoorst. sye van parm); AD = CB ✓ (teenoorst. sye van parm); BD = DB ✓ (gemeenskaplik); ∴ △ABD ≡ △CDB ✓ (SSS)
7
Noem DRIE verskillende maniere om te bewys dat ’n vierhoek ’n parallelogram is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Enige drie van: albei pare teenoorst. sye ewewydig ✓; albei pare teenoorst. sye gelyk ✓; albei pare teenoorst. ∠e gelyk ✓; een paar teenoorst. sye gelyk en ewewydig; hoeklyne halveer mekaar
8
In △ABC is D en E die middelpunte van AB en AC. As DE = 7,5 cm en AĈB = 58°, bepaal BC en AÊD, met redes.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
BC = 2 × 7,5 = 15 cm ✓✓ (middelpuntstelling); AÊD = 58° ✓ (ooreenk. ∠e; DE ∥ BC) ✓
9
Verduidelik waarom jy NIE die rede “teenoorst. sye van parm” mag gebruik in ’n bewys waarvan die gevolgtrekking is dat die vorm ’n parallelogram is nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit aanvaar presies wat jy gevra word om te bewys ✓. Eienskappe van ’n parallelogram mag eers gebruik word sodra vasgestel is dat die vorm een is ✓.
10
PQRS is ’n vierhoek met PQ ∥ SR en PQ = SR. Bewys dat PQRS ’n parallelogram is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
PQ ∥ SR ✓ (gegee); PQ = SR ✓ (gegee); ∴ PQRS is ’n parallelogram ✓ (een paar teenoorst. sye gelyk en ewewydig)