π
∞
∑
∫
θ
E = mc²
y = mx+b
√
Δ
φ
∇
λ
Tuis›Lesse›Graad 10
Graad 10 · Algebraïese uitdrukkings · 10 min. leestyd

Algebraïese breuke: vereenvoudig, tel op en trek af (Graad 10)

Algebraïese breuke vereenvoudig deur te faktoriseer, hulle vermenigvuldig en deel, en optel of aftrek met ’n kleinste gemene noemer — insluitend noemers wat as derdemagte faktoriseer.

Kyk die video's (Engels)

Algebraïese breuke gedra hulle presies soos gewone breuke. Die een ekstra stap is dat jy eers moet faktoriseer — niks kan uitgekanselleer word voordat die teller en noemer produkte is nie.

1Vereenvoudig: faktoriseer, en kanselleer dan FAKTORE

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (x2 − 9)/(x + 3)
  1. 1
    Faktoriseer die teller: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
    ’n Verskil van twee kwadrate.
  2. 2
    ((x − 3)(x + 3))/(x + 3)
    Nou is die teller en noemer produkte.
  3. 3
    Kanselleer die (x + 3): x − 3.
  4. 4
    x − 3,  x ≠ −3
    Die oorspronklike noemer, x + 3, is 0 by x = −3, dus is daardie waarde steeds nie toegelaat nie.
💡

Die beperkings kom van die OORSPRONKLIKE noemer. Om ’n faktor uit te kanselleer, maak sy waarde nie toelaatbaar nie. In (x2 − 9)/(x + 3) is die noemer 0 by x = −3, dus is die antwoord x − 3, x ≠ −3 — en elke waarde wat die eerste noemer nul maak, bly uitgesluit, selfs wanneer sy faktor verdwyn. In Graad 11 en 12 dra daardie beperking ’n punt.

⚠️

Jy mag net faktore uitkanselleer, nooit enkele terme nie. In (x + 3)/3 kanselleer die 3’e nie, omdat die teller ’n som is, nie ’n produk nie.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (x2 + 5x + 6)/(x2 − 4)
  1. 1
    Teller: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
    Drieterm.
  2. 2
    Noemer: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
    Verskil van twee kwadrate.
  3. 3
    Kanselleer (x + 2): (x + 3)/(x − 2)
  4. 4
    (x + 3)/(x − 2),  x ≠ ±2
    Die oorspronklike noemer x2 − 4 is 0 by SOWEL x = 2 as x = −2 — die −2 moet steeds uitgesluit word, al het (x + 2) uitgekanselleer.

2Vermenigvuldig en deel

Vermenigvuldig: faktoriseer alles, kanselleer oorkruis uit, en vermenigvuldig dan wat oorbly. Deel: draai die tweede breuk om en vermenigvuldig.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (x2 − 1)/x ÷ (x + 1)/3x
  1. 1
    Draai om en vermenigvuldig: (x2 − 1)/x × 3x/(x + 1).
    Om deur 'n breuk te deel, is om met sy omgekeerde te vermenigvuldig.
  2. 2
    Faktoriseer: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
  3. 3
    Kanselleer (x + 1) en een x: 3(x − 1),  x ≠ 0 ; x ≠ −1.
    Albei noemers van die OORSPRONKLIKE vraag, x en 3x, is 0 by x = 0, en deling deur (x + 1)/3x vereis ook x ≠ −1.

3Optel en aftrek

1. Faktoriseer elke noemer2. Bou die KGN3. Herskryf elke breuk oor die KGN4. Tel die tellers op, vereenvoudig danx² − 1 = (x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)vermenigvuldig teller en noemer met wat ontbreekhou die KGN; brei uit en versamel bo
Die vier stappe om algebraïese breuke bymekaar te tel. Stap 1 is die een wat leerders oorslaan.
Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: 2/(x + 1) + 3/(x − 1)
  1. 1
    Die noemers faktoriseer nie verder nie, dus is die KGN (x + 1)(x − 1).
  2. 2
    Herskryf: (2(x − 1))/((x + 1)(x − 1)) + (3(x + 1))/((x + 1)(x − 1)).
    Vermenigvuldig elke breuk met wat sy noemer kortkom.
  3. 3
    Teller: 2x − 2 + 3x + 3 = 5x + 1.
    Brei uit en versamel.
  4. 4
    = (5x + 1)/(x2 − 1)
    Die noemer mag gefaktoriseer of uitgebrei gelaat word. Die beperkings kom van (x + 1)(x − 1): x ≠ ±1.
⚠️

Wanneer jy aftrek, geld die minus vir die hele teller. a/d − (b + c)/d = (a − b − c)/d — sit die tweede teller tussen hakies voordat jy aftrek.

4Wanneer ’n noemer ’n som of verskil van derdemagte is

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (x − 2)/(x3 − 8)
  1. 1
    Faktoriseer die noemer: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
    ’n Verskil van twee derdemagte.
  2. 2
    (x − 2)/((x − 2)(x2 + 2x + 4))
  3. 3
    Kanselleer (x − 2): 1/(x2 + 2x + 4)
    Die teller word 1, nie 0 nie — ’n baie algemene glips. Die oorspronklike noemer is 0 by x = 2, dus x ≠ 2.
💡

Wanneer jy ’n derdemag in ’n noemer sien, verwag dat dit sal faktoriseer en uitkanselleer. Dit is presies waarom die derdemag-identiteite net voor hierdie onderwerp geleer word.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart✅ Memo📝 Eksamenvraestel🗝️ Nasienriglyn
  1. 1
    Vereenvoudig: (x2 − 16)/(x + 4)
    Wys antwoord ▾
    x − 4,  x ≠ −4
  2. 2
    Vereenvoudig: (x2 − 25)/(x − 5)
    Wys antwoord ▾
    x + 5,  x ≠ 5
  3. 3
    Vereenvoudig: (x2 + 5x + 6)/(x2 − 4)
    Wys antwoord ▾
    (x + 3)/(x − 2),  x ≠ ±2
  4. 4
    Vereenvoudig: 6x2/3x
    Wys antwoord ▾
    2x,  x ≠ 0
  5. 5
    Vereenvoudig: (x2 − 1)/x ÷ (x + 1)/3x
    Wys antwoord ▾
    3(x − 1),  x ≠ 0, x ≠ −1
  6. 6
    Vereenvoudig: 1/x + 1/y
    Wys antwoord ▾
    (y + x)/xy,  x ≠ 0, y ≠ 0
  7. 7
    Vereenvoudig: 2/(x + 1) + 3/(x − 1)
    Wys antwoord ▾
    (5x + 1)/(x2 − 1),  x ≠ ±1
  8. 8
    Vereenvoudig: (x − 2)/(x3 − 8)
    Wys antwoord ▾
    1/(x2 + 2x + 4),  x ≠ 2
  9. 9
    Vereenvoudig: (x + 3)/(x3 + 27)
    Wys antwoord ▾
    1/(x2 − 3x + 9),  x ≠ −3
🧠

Vinnige vasvra

5 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.

Oefen dit nou

Laai Graad 10-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).

Na Graad 10-vraestelle →

Meer lesse

🎯
Graad 10 · Analitiese meetkunde
Analitiese meetkunde: afstand, middelpunt en gradiënt
📏
Graad 10 · Euklidiese meetkunde
Kongruente en gelykvormige driehoeke (Graad 10)
📏
Graad 10 · Euklidiese meetkunde
Euklidiese meetkunde-ruiters: bewys dit, met redes (Graad 10)
🧩
Graad 10 · Algebraïese uitdrukkings
Faktorisering: drieterme, groepering in pare en derdemagte (Graad 10)