Faktorisering — Graad 10 Wiskunde (KABV)

’n Besluitgids gebaseer op die aantal terme, en dan die drie nuwe Graad 10-metodes: ’n drieterm met ’n getal voor x² (verdeel die middelste term), groepering van vier terme in pare, en die som en verskil van twee derdemagte.

Kyk die video (Engels)

Graad 10 · Videoles (Engels)Factorisation: Grouping

Teen Graad 10 is daar vyf faktoriseringsmetodes, en die eksamen sal nie vir jou sê watter een om te gebruik nie. Gelukkig besluit die aantal terme byna altyd vir jou.

1Die besluitgids

Werk van bo na onder deur die lys. ’n Gemeenskaplike faktor kom altyd eerste uit; laat dan die aantal terme die metode kies.

💡

Haal elke keer eers die gemeenskaplike faktor uit. Dit maak dikwels van ’n lelike uitdrukking ’n standaardeen — 2x² − 18 word 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3).

2Vier terme: groepeer in pare

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: x³ + 2x² + 3x + 6

1
Verdeel in twee pare: (x³ + 2x²) + (3x + 6).
Vier terme → groepering.
2
Faktoriseer elke paar: x²(x + 2) + 3(x + 2).
Die hakie moet DIESELFDE uitkom — dit is die kontrole.
3
Haal die gemeenskaplike hakie uit: (x + 2)(x² + 3).

⚠️

As die twee hakies nie ooreenstem nie, probeer om die terme anders te paar, of haal ’n negatiewe faktor uit: ax − ay − bx + by = a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b).

3Twee terme: verskil van twee kwadrate

a² − b² = (a − b)(a + b)

Let op dat daar in hierdie sillabus geen faktorisering vir ’n som van twee kwadrate (a² + b²) is nie.

4Twee terme: som en verskil van DERDEMAGTE

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

💡

Geheuehulp — DTAP: die tekens is Dieselfde, Teenoorgesteld, Altyd Positief. Dus is die hakies vir a³ − b³ (a − b)(a² + ab + b²).

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: x³ + 8

1
Skryf albei dele as derdemagte: x³ + 2³.
Dus a = x en b = 2.
2
Pas die identiteit toe: (x + 2)(x² − 2x + 4).
Dieselfde, teenoorgesteld, altyd positief.
3
Kontroleer deur uit te brei — die middelste terme kanselleer en jy kry x³ + 8 ✓

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: 8x³ − 27

1
8x³ = (2x)³ en 27 = 3³.
Dus a = 2x en b = 3.
2
(2x − 3)((2x)² + (2x)(3) + 3²).
Vervang in die identiteit.
3
= (2x − 3)(4x² + 6x + 9).
Vereenvoudig binne die tweede hakie.

⚠️

Die tweede hakie in ’n derdemagfaktorisering faktoriseer nie verder nie, en dit is nie ’n volkome vierkant-drieterm nie. Moenie probeer om (a − b)² daarop af te dwing nie.

5Drie terme: drieterme

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: x² − 7x + 12

1
Vind twee getalle wat vermenigvuldig tot +12 en optel tot −7.
Albei moet negatief wees.
2
−3 en −4.
3
= (x − 3)(x − 4).

6Drie terme met ’n getal voor x²: verdeel die middelste term

In Graad 9 het die x² óf alleen gestaan, óf die getal voor dit het eers as ’n gemeenskaplike faktor uitgekom. Graad 10 is waar jy die regte geval teëkom: 2x² + 7x + 3, waar niks uitdeel nie. Om die hakies te raai, werk soms; die ac-metode werk elke keer, en dit verander die drieterm in ’n groeperingsvraag wat jy reeds kan doen.

Vermenigvuldig a × c → vind twee getalle met daardie produk en met die middelste koëffisiënt as hulle som → verdeel die middelste term in daardie twee → groepeer in pare.

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: 2x² + 7x + 3

1
a × c = 2 × 3 = 6.
a is die getal voor x², c is die laaste getal.
2
Twee getalle met produk 6 en som 7: 6 en 1.
Die som moet die middelste koëffisiënt, +7, wees.
3
Verdeel die middelste term: 2x² + 6x + x + 3.
7x word 6x + x — niks het in waarde verander nie, maar daar is nou vier terme.
4
Groepeer in pare: 2x(x + 3) + 1(x + 3).
Albei kere dieselfde hakie — dit is die kontrole dat die verdeling reg was.
5
= (2x + 1)(x + 3).
Haal die gemeenskaplike hakie uit, presies soos in die viertermmetode hierbo.

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer: 3x² − 10x + 8

1
a × c = 3 × 8 = 24, en die som moet −10 wees.
Die produk is positief en die som negatief, dus is albei getalle negatief.
2
−6 en −4.
−6 × −4 = 24 ✓ en −6 + (−4) = −10 ✓
3
3x² − 6x − 4x + 8 = 3x(x − 2) − 4(x − 2).
Haal −4 uit, nie +4 nie, sodat die tweede hakie by die eerste pas.
4
= (x − 2)(3x − 4).
Brei uit om te kontroleer: 3x² − 4x − 6x + 8 ✓

💡

Kontroleer soos altyd eers vir die gemeenskaplike faktor. 6x² + 21x + 9 is nie ’n nuwe probleem nie — haal die 3 uit en dit is 3(2x² + 7x + 3), die voorbeeld hierbo.

⚠️

Om die middelste term te verdeel en dan te stop. 2x² + 6x + x + 3 is nie ’n antwoord nie — dit is vier terme, nie ’n produk nie. Groepeer hulle en haal die gemeenskaplike hakie uit. Die ander glips is om die 1 te laat val: 2x(x + 3) + (x + 3) het steeds ’n 1 voor die tweede hakie, dus is die antwoord (2x + 1)(x + 3).

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Faktoriseer: 3x² − 12
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2)
2
Faktoriseer: x³ + 3x² + 2x + 6
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x²(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x² + 2)
3
Faktoriseer: ax + ay + bx + by
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
4
Faktoriseer: x³ + 27
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x + 3)(x² − 3x + 9)
5
Faktoriseer: x³ − 64
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 4)(x² + 4x + 16)
6
Faktoriseer: 8x³ − 1
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(2x − 1)(4x² + 2x + 1)
7
Faktoriseer: 27x³ + 8
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(3x + 2)(9x² − 6x + 4)
8
Faktoriseer: x² − 7x + 12
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 3)(x − 4)
9
Faktoriseer: 2x² + 7x + 3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a × c = 6; 6 en 1; 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)
10
Faktoriseer: 2x² − 5x − 3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a × c = −6; −6 en +1; 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + 1(x − 3) = (2x + 1)(x − 3)