Annuïteite en lenings se terugbetalings — Graad 12 (KABV)

Toekomstige waarde vir spaar en huidige waarde vir lenings, die berekening van ’n maandelikse paaiement, en die bepaling van die uitstaande balans halfpad deur ’n lening.

1Die twee formules

Toekomstige waarde (spaar)
F = (x[(1 + i)ⁿ − 1])/i

Huidige waarde (afbetaal)
P = (x[1 − (1 + i)⁻ⁿ])/i

💡

Kies deur te vra wanneer die enkelbedrag bestaan. Spaar vir ’n bedrag in die toekoms ⇒ F. Leen geld wat jy nou het ⇒ P. Die enigste verskil in die formule is die teken van die eksponent.

⚠️

i is die koers per betalingsperiode, nie per jaar nie. Vir 9% p.j. maandeliks saamgestel is i = 0,09/12 = 0,0075 en n tel maande.

2Toekomstige waarde: spaar

Uitgewerkte voorbeeldR1 500 word maandeliks vir 20 jaar gedeponeer teen 9% p.j. maandeliks saamgestel. Bepaal die toekomstige waarde.

1
i = 0,09/12 = 0,0075 en n = 20 × 12 = 240.
Skakel altyd eers om na die betalingsperiode.
2
F = (1 500[(1,0075)²⁴⁰ − 1])/0,0075.
3
= R1 001 830,30.
Die totaal wat gedeponeer is, was slegs 240 × 1 500 = R360 000 — die res is rente.

3Huidige waarde: ’n paaiement op ’n lening

Uitgewerkte voorbeeld’n Verband van R800 000 word maandeliks oor 20 jaar terugbetaal teen 9% p.j. maandeliks saamgestel. Bepaal die paaiement.

1
i = 0,0075, n = 240, P = 800 000.
2
800 000 = (x[1 − (1,0075)⁻²⁴⁰])/0,0075.
Huidige waarde — die geld bestaan nou.
3
x = (800 000 × 0,0075)/(1 − (1,0075)⁻²⁴⁰).
Herrangskik vir x.
4
= R7 197,81 per maand.
Oor 240 maande is dit ongeveer R1,73 miljoen wat op ’n lening van R800 000 terugbetaal word.

4Uitstaande balans

Die balans wat nog geskuld word, is die huidige waarde van die betalings wat nog moet kom — nie die bedrag wat reeds betaal is, afgetrek van die lening nie.

Uitgewerkte voorbeeldHoeveel word na 5 jaar nog op daardie verband geskuld?

1
Betalings gemaak: 5 × 12 = 60. Betalings oor: 240 − 60 = 180.
2
Balans = (7 197,81[1 − (1,0075)⁻¹⁸⁰])/0,0075.
Huidige waarde van die 180 betalings wat nog verskuldig is, met die paaiement wat hierbo bepaal is.
3
= R709 656,62.
Ná ’n kwart van die termyn is slegs ongeveer R90 000 van die R800 000 terugbetaal — die vroeë betalings is meestal rente. (Met die onafgeronde paaiement kry jy R709 656,39.)

💡

As ’n vraag sê die betalings begin een maand ná die lening, werk die formule soos dit is. As daar ’n vertraging is, pas n aan en sê dit uitdruklik.

5Logaritmes gebruik om n te bepaal

Wanneer die onbekende die aantal periodes is, sit dit in die eksponent — en die enigste manier om uit ’n eksponent af te kom, is ’n logaritme.

A = P(1 + i)ⁿ ⇒ n = (log(A ÷ P))/(log(1 + i))

Uitgewerkte voorbeeldHoe lank sal dit neem vir R50 000 om tot R80 000 te groei teen 9% p.j. jaarliks saamgestel?

1
80 000 = 50 000(1,09)ⁿ.
2
1,6 = (1,09)ⁿ.
Deel albei kante deur 50 000.
3
n = (log 1,6)/(log 1,09).
Neem die log van albei kante en gebruik die magswet.
4
n = 5,45 jaar.
Rente word slegs aan die einde van die jaar betaal, dus sou jy in die praktyk 6 volle jare wag.

💡

Enige grondtal werk, solank jy dieselfde grondtal bo en onder gebruik. Die sakrekenaar se log- en ln-sleutels gee albei dieselfde n.

Uitgewerkte voorbeeldTweede voorbeeld — afronding van n: hoe lank sal dit neem vir R15 000 om tot R25 000 te groei teen 9% p.j. jaarliks saamgestel?

1
25 000 = 15 000(1,09)ⁿ
A = P(1 + i)ⁿ
2
(1,09)ⁿ = (25 000)/(15 000) = 1,6667
Isoleer eers die mag — altyd.
3
n = (log 1,6667)/(log 1,09)
Neem die log van albei kante: n log 1,09 = log 1,6667.
4
n = 5,93 jaar
5
Dit neem dus 6 jaar, aangesien rente slegs aan die einde van elke jaar bygevoeg word.
Rond OP af in ’n konteks van saamgestelde rente — by 5,93 jaar het die geld nog nie aangekom nie.

⚠️

Om 5,93 af te rond na 5 jaar, of dit as 5,93 te laat wanneer die rente jaarliks saamgestel word. Lees die saamstellingsperiode: met jaarlikse saamstelling verander die balans slegs by heel jare, dus is die antwoord 6.

6Delgingsfondse

’n Delgingsfonds is ’n toekomstigewaarde-annuïteit met ’n doel: ’n besigheid spaar maandeliks sodat dit toerusting kan vervang wanneer die ou toerusting afgeskryf word. Die eksamenweergawe het byna altyd drie dele.

Uitgewerkte voorbeeld’n Masjien wat R800 000 kos, se waarde verminder teen 12% p.j. op ’n verminderende saldo, en dit word oor 5 jaar vervang. ’n Nuwe masjien se prys styg met inflasie teen 8% p.j. ’n Delgingsfonds verdien 10% p.j. maandeliks saamgestel. Bepaal die maandelikse paaiement.

1
Skrootwaarde: 800 000(1 − 0,12)⁵ = R422 185,53
Verminderende-saldo-waardevermindering, A = P(1 − i)ⁿ.
2
Koste van die nuwe masjien: 800 000(1 + 0,08)⁵ = R1 175 462,46
Inflasie is saamgestelde groei.
3
Bedrag wat die fonds moet oplewer: 1 175 462,46 − 422 185,53 = R753 276,93
Die ou masjien word ingeruil — dit is die stap wat gemis word.
4
753 276,93 = (x[(1 + 0,10/12)⁶⁰ − 1])/(0,10/12)
Toekomstige waarde van ’n annuïteit, 60 maandelikse paaiemente.
5
x = R9 727,60 per maand

💡

Die volgorde is altyd dieselfde: verminder die ou een se waarde, laat die nuwe een se prys styg, trek af, en dan die annuïteit. Skryf daardie vier stappe neer voordat jy aan die sakrekenaar raak.

7Beleggings- en leningsopsies vergelyk

Die ATP vra dat jy opsies krities ontleed en ’n ingeligte besluit neem. Die punte is vir die vergelyking en die sin aan die einde, nie net vir die rekenwerk nie.

Skakel elke opsie om na dieselfde grondslag voordat jy vergelyk — gewoonlik die effektiewe jaarlikse koers, of die totale bedrag na dieselfde aantal jare.
’n Laer nominale koers kan steeds swakker wees as dit minder gereeld saamgestel word. 10% maandeliks saamgestel klop 10,2% jaarliks saamgestel.
Vergelyk vir lenings die totaal wat terugbetaal word, nie die paaiement nie. ’n Langer termyn gee ’n kleiner maandelikse betaling en ’n veel groter totaal.
Sluit af met ’n sin: watter opsie, en waarom. Dit is waar die laaste punt lê.

Uitgewerkte voorbeeldOpsie A: 11% p.j. maandeliks saamgestel. Opsie B: 11,4% p.j. jaarliks saamgestel. Watter een is die beter belegging?

1
Opsie A effektief: (1 + 0,11/12)¹² − 1 = 0,11572 → 11,57%
Skakel die nominale koers om na ’n effektiewe jaarlikse koers.
2
Opsie B is reeds jaarliks: 11,4%
3
11,57% > 11,4%, dus is Opsie A beter.
Vergelyk soortgelyke dinge.
4
Opsie A is die beter belegging omdat sy effektiewe jaarlikse koers van 11,57% Opsie B se 11,4% oorskry.
Die slotsin verdien sy eie punt.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
R1 500 word maandeliks vir 20 jaar gedeponeer teen 9% p.j. maandeliks saamgestel. Bepaal die toekomstige waarde.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
i = 0,0075, n = 240 → F = R1 001 830,30
2
Hoeveel is in totaal werklik in daardie annuïteit gedeponeer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
240 × 1 500 = R360 000
3
’n Verband van R800 000 word maandeliks oor 20 jaar terugbetaal teen 9% p.j. maandeliks saamgestel. Bepaal die maandelikse paaiement.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = (800 000 × 0,0075)/(1 − (1,0075)⁻²⁴⁰) = R7 197,81
4
Bepaal die uitstaande balans op daardie verband na 5 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
240 − 60 = 180 betalings bly oor ✓; Balans = (7 197,81[1 − (1,0075)⁻¹⁸⁰])/0,0075 ✓✓ = R709 656,62 ✓ (R709 656,39 met die onafgeronde paaiement)
5
Skryf die waarde van i neer vir 9% p.j. maandeliks saamgestel.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0,09/12 = 0,0075
6
Watter formule gebruik jy wanneer jy vir ’n toekomstige bedrag spaar?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Toekomstige waarde, F = (x[(1 + i)ⁿ − 1])/i
7
Watter formule gebruik jy vir ’n lening wat vandag uitgeneem word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Huidige waarde, P = (x[1 − (1 + i)⁻ⁿ])/i
8
Hoe word die uitstaande balans op ’n lening bereken?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
As die huidige waarde van die betalings wat nog uitstaande is.
9
Hoe lank sal dit neem vir R20 000 om te verdubbel teen 8% p.j. jaarliks saamgestel? Gee jou antwoord in heel jare.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
40 000 = 20 000(1,08)ⁿ ✓; (1,08)ⁿ = 2 ✓; n = (log 2)/(log 1,08) = 9,006 ✓; dus 10 jaar (rente word slegs aan die einde van die jaar bygevoeg) ✓
10
’n Voertuig wat R450 000 kos, se waarde verminder teen 15% p.j. op ’n verminderende saldo. Bereken sy skrootwaarde na 4 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
450 000(1 − 0,15)⁴ ✓✓ = R234 902,81 ✓
11
Noem in ’n delgingsfondsvraag die DRIE bedrae wat jy moet bereken voordat jy die maandelikse paaiement uitwerk.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die skrootwaarde van die ou bate ✓; die geïnflateerde koste van die nuwe een ✓; en die verskil tussen hulle, wat die fonds moet oplewer ✓
12
Opsie A betaal 9,6% p.j. maandeliks saamgestel; Opsie B betaal 9,9% p.j. jaarliks saamgestel. Watter een is beter? Toon jou redenasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
A effektief = (1 + 0,096/12)¹² − 1 ✓ = 0,10034 = 10,03% ✓; B = 9,9% ✓; Opsie A is beter omdat sy effektiewe jaarlikse koers hoër is ✓
13
Waarom kan ’n lening met ’n laer maandelikse paaiement jou in totaal meer kos?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Laer paaiement beteken gewoonlik ’n langer termyn ✓, dus word rente vir meer maande gehef en is die totaal wat terugbetaal word, groter ✓