Telbeginsels en waarskynlikheid — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die fundamentele telbeginsel, rangskikkings met n!, die hantering van items wat saam moet bly of wat herhaal, en die gebruik van tel om ’n waarskynlikheid uit te werk.

1Die fundamentele telbeginsel

As een keuse op m maniere gemaak kan word en die volgende op n maniere,
kan die twee saam op m × n maniere gemaak word.

Uitgewerkte voorbeeldHoeveel 4-syfer-PIN’s is daar as syfers mag herhaal? En as hulle nie mag nie?

1
Met herhalings: 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.
Elke posisie het al tien syfers beskikbaar.
2
Sonder herhalings: 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.
Elke syfer wat gebruik word, verwyder een opsie uit die volgende posisie.

2Rangskikkings: n!

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1

0! = 1

n verskillende voorwerpe kan op n! maniere in ’n ry gerangskik word. Dus kan 5 boeke op 5! = 120 maniere gerangskik word, en 7 mense op 7! = 5 040 maniere.

3Wanneer sommige items saam moet bly

💡

Bind hulle saam in ’n enkele blok, rangskik alles insluitend die blok, rangskik dan binne die blok en vermenigvuldig.

Uitgewerkte voorbeeld4 seuns en 3 meisies sit in ’n ry. Op hoeveel maniere kan hulle sit as die meisies saam sit?

1
Hanteer die 3 meisies as een blok. Dit laat 4 seuns + 1 blok = 5 items.
2
Rangskik die 5 items: 5! = 120.
3
Rangskik die meisies binne die blok: 3! = 6.
Die blok is nie intern vas nie.
4
Totaal = 120 × 6 = 720.

4Tel om ’n waarskynlikheid te kry

P(gebeurtenis) = (aantal gunstige rangskikkings)/(totale aantal rangskikkings)

Uitgewerkte voorbeeldWat is die waarskynlikheid vir die 7 leerders hierbo dat die meisies saam sit?

1
Gunstig = 720 (van hierbo).
2
Totale rangskikkings van 7 mense = 7! = 5 040.
Geen beperking nie.
3
P = 720/(5 040) = 1/7.
≈ 0,143.

5Herhaalde letters

rangskikkings van n letters = (n!)/(r₁! × r₂! × …)
waar r₁, r₂, … aandui hoeveel keer elke herhaalde letter voorkom

Deel deur die faktoriaal van elke herhalingsgetal, nie net een nie. As slegs EEN letter herhaal, sê r keer, is dit eenvoudig (n!)/(r!).

Uitgewerkte voorbeeldHoeveel rangskikkings is daar van die letters van die woord LETTER?

1
Daar is 6 letters, maar E kom twee keer voor en T kom twee keer voor.
2
(6!)/(2! × 2!) = 720/4.
Deel deur die faktoriaal van elke herhalingsgetal.
3
= 180.

⚠️

As jy vergeet om deur die herhalings te deel, kry jy 720, wat elke rangskikking wat identies lyk, verskeie kere tel.

6Boomdiagramme is steeds van toepassing

’n Siftingstoets: 20% van mense het die siekte; die toets is 90% akkuraat op hulle en gee 20% van die tyd ’n vals positiewe uitslag.

P(toets positief) = (1/5 × 9/10) + (4/5 × 2/10) = 9/50 + 8/50 = 17/50 = 0,34.

7Venn-diagramme met drie gebeurtenisse

Drie oorvleuelende sirkels skep agt gebiede. Daar is een betroubare volgorde om hulle in te vul: van die middel na buite, omdat elke totaal vir ’n paar reeds die mense in die middel insluit.

Uitgewerkte voorbeeldVan 120 leerders lees 62 romans, 55 tydskrifte en 48 koerante; 27 lees romans en tydskrifte, 22 romans en koerante, 19 tydskrifte en koerante, en 11 lees al drie. Hoeveel lees nie een nie?

1
Middel (al drie) = 11
Altyd eerste.
2
Slegs romans ∩ tydskrifte = 27 − 11 = 16
Die 27 sluit die 11 in die middel in.
3
Slegs romans ∩ koerante = 22 − 11 = 11; slegs tydskrifte ∩ koerante = 19 − 11 = 8
4
Slegs romans = 62 − 16 − 11 − 11 = 24
Trek al drie oorvleuelende gebiede van die totaal vir romans af.
5
Slegs tydskrifte = 55 − 16 − 8 − 11 = 20; slegs koerante = 48 − 11 − 8 − 11 = 18
6
Ten minste een = 24 + 20 + 18 + 16 + 11 + 8 + 11 = 108
Tel al sewe binneste gebiede bymekaar.
7
Nie een nie = 120 − 108 = 12

⚠️

Om 27 direk in die oorvleueling van romans en tydskrifte te sit. Daardie 27 is die totaal vir albei, en 11 van hulle lees ook koerante — dus hoort slegs 16 in die gebied van twee sirkels. Om van buite na binne in te vul, veroorsaak dit elke keer.

8Tweerigting-gebeurlikheidstabelle

’n Gebeurlikheidstabel verdeel ’n groep volgens twee eienskappe gelyktydig. Vul eers die totale-ry en -kolom in — die meeste ontbrekende inskrywings volg dan deur aftrekking.

A en B is onafhanklik ⇔ P(A en B) = P(A) × P(B)

Uitgewerkte voorbeeldVan 200 mense is 120 manlik; 90 besit ’n motor, waarvan 60 manlik is. Is ‘manlik’ en ‘besit ’n motor’ onafhanklik?

1
P(manlik) = 120/200 = 0,6
2
P(besit ’n motor) = 90/200 = 0,45
3
P(manlik EN besit ’n motor) = 60/200 = 0,3
Lees direk van die tabel af.
4
P(manlik) × P(motor) = 0,6 × 0,45 = 0,27
5
0,3 ≠ 0,27, dus is die gebeurtenisse NIE onafhanklik nie.
Die toets is ’n gelykheid — as die twee kante enigsins verskil, is die gebeurtenisse afhanklik.

💡

Onafhanklikheid word deur daardie een vergelyking besluit, nooit deur ’n gevoel oor of die twee dinge “verwant voel” nie. Werk albei kante uit en vergelyk hulle.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Hoeveel 4-syfer-PIN’s kan gevorm word as syfers mag herhaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
10⁴ = 10 000
2
Hoeveel 4-syfer-PIN’s kan gevorm word as geen syfer mag herhaal nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
10 × 9 × 8 × 7 = 5 040
3
Op hoeveel maniere kan 5 verskillende boeke op ’n rak gerangskik word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5! = 120
4
4 seuns en 3 meisies sit in ’n ry. Op hoeveel maniere kan hulle sit as die meisies saam sit?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5! × 3! = 120 × 6 = 720
5
Bereken vir daardie 7 leerders die waarskynlikheid dat die meisies saam sit.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
720/(5 040) = 1/7
6
Hoeveel rangskikkings is daar van die letters van die woord LETTER?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(6!)/(2!×2!) = 180
7
Skryf die waarde van 0! neer
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1
8
Gebruik die boomdiagram hieronder en bereken die waarskynlikheid dat ’n persoon positief toets.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/5 × 9/10 + 4/5 × 2/10 = 0,34
9
Van 80 leerders speel 40 sokker, 32 krieket en 28 tennis; 15 speel sokker en krieket, 12 sokker en tennis, 10 krieket en tennis, en 6 speel al drie. Hoeveel speel nie een nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Middel 6 ✓; slegs pare 9, 6, 4 ✓; enkels: sokker 40 − 9 − 6 − 6 = 19, krieket 32 − 9 − 4 − 6 = 13, tennis 28 − 6 − 4 − 6 = 12 ✓; ten minste een = 19 + 13 + 12 + 9 + 6 + 4 + 6 = 69; nie een nie = 80 − 69 = 11 ✓
10
In ’n groep van 150 mense is 90 vroulik en 60 dra ’n bril, waarvan 40 vroulik is. Bepaal of ‘vroulik’ en ‘dra ’n bril’ onafhanklik is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
P(V) = 90/150 = 0,6 ✓; P(B) = 60/150 = 0,4 ✓; P(V en B) = 40/150 = 0,267 ✓; P(V) × P(B) = 0,24 ≠ 0,267, dus NIE onafhanklik nie ✓
11
Stel die toets vir twee gebeurtenisse wat onafhanklik is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
P(A en B) = P(A) × P(B) ✓✓
12
Waarom moet ’n Venn-diagram met drie gebeurtenisse van die middel na buite ingevul word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Elke totaal vir ’n paar sluit reeds dié in wat in al drie is ✓; deur in die middel te begin, kan jy daardie oorvleueling aftrek sodat niemand twee keer getel word nie ✓