Saamgestelde- en dubbelhoekidentiteite — Graad 12 (KABV)

Die formules vir sin(A ± B) en cos(A ± B), die drie vorme van cos 2A, die gebruik daarvan om presiese waardes sonder ’n sakrekenaar te bepaal, en die bewys van identiteite.

1Die formules vir saamgestelde hoeke

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

💡

Onthou die tekenreël: cos verander die teken, sin behou dit. cos(A + B) het ’n minus in die middel; sin(A + B) het ’n plus.

⚠️

sin(A + B) is nie sin A + sin B nie. Toets dit: sin(30° + 60°) = sin 90° = 1, maar sin 30° + sin 60° = 0,5 + 0,866 = 1,366.

2Presiese waardes sonder ’n sakrekenaar

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die presiese waarde van cos 75°

1
Skryf 75° met twee spesiale hoeke: 75° = 45° + 30°.
Albei is op die tabel van spesiale hoeke.
2
cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°.
Formule vir die saamgestelde hoek cos(A + B).
3
= 1/(√2) × (√3)/2 − 1/(√2) × 1/2.
4
= (√3 − 1)/(2√2).
Gemeenskaplike noemer.
5
= (√6 − √2)/4.
Rasionaliseer. Kontroleer op ’n sakrekenaar: 0,2588. ✓

3Die dubbelhoekformules

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos²A − sin²A
cos 2A = 2 cos²A − 1
cos 2A = 1 − 2 sin²A

💡

cos 2A het drie vorme, en om die regte een te kies, is die hele vaardigheid. As die vraag ook sinA noem, gebruik 1 − 2 sin²A. As dit cosA noem, gebruik 2 cos²A − 1.

Uitgewerkte voorbeeldAs sin θ = 3/5 en θ skerp is, bepaal cos 2θ

1
Gebruik cos 2θ = 1 − 2 sin²θ.
Ons het sin θ gekry, dus kies die vorm met slegs sin daarin.
2
= 1 − 2(3/5)².
3
= 1 − 2(9/25) = 1 − 18/25.
4
= 7/25.
Dit is glad nie nodig om cos θ te bepaal nie.

4’n Identiteit bewys

Werk slegs aan een kant totdat dit gelyk is aan die ander. Moet nooit terme oor die gelykaanteken skuif nie — jy los nie ’n vergelyking op nie.

Uitgewerkte voorbeeldBewys dat (sin 2A)/(1 + cos 2A) = tan A

1
LK = (2 sin A cos A)/(1 + (2 cos²A − 1)).
Brei sin 2A uit, en kies die vorm van cos 2A wat die 1 sal uitkanselleer.
2
= (2 sin A cos A)/(2 cos²A).
Die +1 en −1 kanselleer uit — daarom is hierdie vorm gekies.
3
= (sin A)/(cos A).
Kanselleer 2 cos A bo en onder — slegs toegelaat solank cos A ≠ 0 (sien die beperking hieronder).
4
= tan A = RK. ✓
5
Beperking: 1 + cos 2A = 2 cos²A, wat nul is wanneer cos A = 0. Die identiteit geld dus slegs vir cos A ≠ 0, d.w.s. A ≠ 90° + k·180°, k ∈ ℤ.
Neem die beperking uit die OORSPRONKLIKE uitdrukking, voordat enigiets uitkanselleer. tan A is ook presies by daardie hoeke ongedefinieerd.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Brei cos(A − B) uit.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos A cos B + sin A sin B
2
Brei sin(A + B) uit.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sin A cos B + cos A sin B
3
Bepaal die presiese waarde van cos 75° sonder ’n sakrekenaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos(45°+30°) = (√6 − √2)/4
4
Bepaal die presiese waarde van sin 15° sonder ’n sakrekenaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sin(45°−30°) = (√6 − √2)/4
5
Skryf die drie vorme van cos 2A neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos²A − sin²A, 2 cos²A − 1, 1 − 2 sin²A
6
As sin θ = 3/5 en θ skerp is, bepaal cos 2θ.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1 − 2(9/25) = 7/25
7
As sin θ = 3/5 en θ skerp is, bepaal sin 2θ.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos θ = 4/5, dus 2(3/5)(4/5) = 24/25
8
Bewys dat (sin 2A)/(1 + cos 2A) = tan A, en gee die beperking op A.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(2 sin A cos A)/(1 + (2 cos²A − 1)) ✓ = (2 sin A cos A)/(2 cos²A) ✓ = (sin A)/(cos A) ✓ = tan A ✓
Die oorspronklike noemer 1 + cos 2A = 2 cos²A is nul wanneer cos A = 0, dus cos A ≠ 0, d.w.s. A ≠ 90° + k·180°, k ∈ ℤ ✓
9
Vereenvoudig 2 sin 15° cos 15°.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= sin 30° = 1/2
10
Waarom is sin(A + B) ≠ sin A + sin B?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Toets A = 30°, B = 60°: sin 90° = 1 maar sin 30° + sin 60° ≈ 1,37, dus is hulle nie gelyk nie.