Gemiddelde gradiënt en gemiddelde tempo van verandering — Graad 12

Die gradiënt van die reguit lyn wat twee punte op ’n kromme verbind, waarom dit ’n gemiddeld is eerder as die gradiënt by ’n punt, en hoe dit die afgeleide word soos die twee punte nader aan mekaar kom.

’n Kromme het nie een gradiënt nie — dit verander by elke punt. Die gemiddelde gradiënt tussen twee punte is die gradiënt van die reguit lyn wat hulle verbind.

1Die formule

gemiddelde gradiënt = (f(b) − f(a))/(b − a) = (verandering in y)/(verandering in x)

Dit is die gewone gradiëntformule uit Graad 10, met die y-waardes van die funksie afgelees.

Die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 tussen x = 1 en x = 3 is die gradiënt van die reguit lyn deur (1 ; 2) en (3 ; 10).

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 tussen x = 1 en x = 3

1
f(1) = 1² + 1 = 2 en f(3) = 3² + 1 = 10.
Bepaal eers albei y-waardes.
2
Gemiddelde gradiënt = (10 − 2)/(3 − 1).
3
= 8/2 = 4.
Kontroleer op die skets: die lyn deur (1 ; 2) en (3 ; 10) styg 8 oor 2. ✓

⚠️

Die gemiddelde gradiënt is nie die gradiënt by x = 1 of by x = 3 nie. Dit is die gradiënt van die lyn tussen hulle — die kromme is steiler by 3 en platter by 1.

2Waarom dit ’n gemiddeld genoem word

Tussen x = 1 en x = 3 klim die werklike gradiënt van die kromme van 2 na 6. Die waarde 4 lê tussen hulle — dit is die enkele reguitlyngradiënt wat jou van die eerste punt na die tweede sou neem.

3Die verband met die afgeleide

f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h

Dit is die gemiddelde gradiënt tussen x en x + h. Soos h tot niks krimp, smelt die twee punte saam, word die reguit lyn die raaklyn, en word die gemiddelde gradiënt die gradiënt by ’n punt — die afgeleide.

Uitgewerkte voorbeeldToon aan dat die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 naby x = 2 na 4 neig

1
Tussen x = 2 en x = 2,001: (f(2,001) − f(2))/0,001.
2
= (5,004001 − 5)/0,001 = 4,001.
3
Soos h → 0 neig dit na 4, en f′(x) = 2x gee f′(2) = 4. ✓
Die gemiddelde gradiënt word die afgeleide.

💡

In ’n vraag oor tempo van verandering beantwoord dieselfde formule ‘hoe vinnig gemiddeld’. Gemiddelde spoed oor ’n reis is presies die gemiddelde gradiënt van die afstand–tyd-grafiek.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 tussen x = 1 en x = 3.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(10 − 2)/(3 − 1) = 4
2
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 tussen x = −1 en x = 2.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(5 − 2)/(2 + 1) = 1
3
Skryf die formule vir die gemiddelde gradiënt tussen x = a en x = b neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(f(b) − f(a))/(b − a)
4
Is die gemiddelde gradiënt dieselfde as die gradiënt by ’n punt? Verduidelik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee — dit is die gradiënt van die reguit lyn wat twee punte verbind; die gradiënt by ’n punt is die gradiënt van die raaklyn daar.
5
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² tussen x = 2 en x = 2,001 (drie desimale plekke).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4,001… wat na 4 neig soos die interval krimp
6
Wat word die gemiddelde gradiënt soos die twee punte na mekaar toe beweeg?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die afgeleide — die gradiënt van die raaklyn by daardie punt.
7
’n Motor ry 240 km in 3 uur. Wat is sy gemiddelde tempo van verandering van afstand?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
240/3 = 80 km/h
8
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = 2x + 5 tussen enige twee punte.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2 — vir ’n reguit lyn is die gemiddelde gradiënt oral dieselfde.