Rekenkundige en meetkundige rye — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Albei soorte rye en die Graad 12-eksamenvrae daaroor — die bepaling van ’n term, die bepaling van watter term gelyk is aan ’n waarde, die som van ’n reeks, en die som tot oneindigheid — elkeen volledig uitgewerk, met ’n werkblad.

’n Ry is ’n geordende lys getalle. In hierdie les werk jy met twee van die Graad 12-soorte rye — rekenkundig en meetkundig — en die vaardigheid is om te herken watter een jy het, en dan die regte formule toe te pas. Dit dek albei, plus die reeks- (som-)formules waarvan eksamens hou. Graad 12 begin ook met die hersiening van Graad 11 se kwadratiese getalpatrone (’n konstante tweede verskil); dié het hul eie les oor die kwadratiese getalpatroon, Kwadratiese getalpatrone (Graad 11 en 12).

1Die formules (almal op jou inligtingsblad)

Rekenkundige term: T_n = a + (n − 1)d • som: S_n = n/2[2a + (n − 1)d

Meetkundige term: T_n = a·r^{n − 1} • som: S_n = (a(rⁿ − 1))/(r − 1), r ≠ 1

a = eerste term, d = gemeenskaplike verskil (jy tel by), r = gemeenskaplike verhouding (jy vermenigvuldig).

Rekenkundige rye tel elke stap ’n vaste hoeveelheid by; meetkundige rye vermenigvuldig met ’n vaste hoeveelheid.

2Tipe 1: Identifiseer die soort en bepaal ’n term

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: bepaal die 10de term van 5 ; 8 ; 11 ; …

1
Toets: 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3 → rekenkundig, d = 3, a = 5.
’n Konstante verskil beteken rekenkundig.
2
Tₙ = a + (n − 1)d → T₁₀ = 5 + 9(3).
Vervang n = 10.
3
= 5 + 27 = 32.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: bepaal die 6de term van 2 ; 6 ; 18 ; …

1
Toets: 6 ÷ 2 = 3, 18 ÷ 6 = 3 → meetkundig, r = 3, a = 2.
’n Konstante verhouding beteken meetkundig.
2
Tₙ = a·r^{n − 1} → T₆ = 2·3⁵.
Vervang n = 6.
3
= 2 × 243 = 486.

3Tipe 2: Watter term is gelyk aan ’n gegewe waarde?

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: watter term van 5 ; 8 ; 11 ; … is gelyk aan 92?

1
Stel Tₙ = 92: 5 + (n − 1)3 = 92.
Jy ken die waarde en soek die posisie n.
2
(n − 1)3 = 87 → n − 1 = 29 → n = 30.
Los die vergelyking op.
3
Dus is 92 die 30ste term.
n het as ’n heelgetal uitgekom, dus is 92 in die ry.

4Tipe 3: Som van ’n reeks (Sₙ)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: som van die eerste 20 terme van 5 ; 8 ; 11 ; …

1
Rekenkundig, a = 5, d = 3, n = 20.
Gebruik die rekenkundige somformule.
2
S₂₀ = 20/2 [2(5) + 19(3)] = 10[10 + 57].
Vervang in Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d.
3
= 10 × 67 = 670.

5Tipe 4: Som tot oneindigheid (meetkundig, |r| < 1)

Wanneer ’n meetkundige reeks −1 < r < 1 het, krimp die terme en stuur die totaal af op ’n eindige waarde:

S_∞ = a/(1 − r), −1 < r < 1

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: som tot oneindigheid van 8 + 4 + 2 + 1 + …

1
Meetkundig: r = 4/8 = 1/2 (|r| < 1, dus konvergeer dit).
Die som tot oneindigheid bestaan slegs wanneer |r| < 1.
2
S∞ = a/(1 − r) = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2).
a = 8.
3
= 16.
Die lopende totaal kom al hoe nader aan 16.

💡

Toets eers watter soort jy het: trek opeenvolgende terme af (konstante verskil → rekenkundig) of deel hulle (konstante verhouding → meetkundig). Om die verkeerde formule te gebruik, is die hoofmanier waarop punte verloor word.

⚠️

Dit is n − 1, nie n nie. Die termformules gebruik die mag/vermenigvuldiger n − 1. As jy die ‘− 1’ vergeet, skuif elke term een posisie.

Rye en reekse is van die mees voorspelbare punte in NSS-Vraestel 1 — die formules word gegee, dus is die vaardigheid om die regte een te kies en versigtig te vervang. Oefen elke soort hieronder.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
10de term van 3 ; 7 ; 11 ; … (rekenkundige term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 3, d = 4; T₁₀ = 3 + 9(4) = 39
2
8ste term van 2 ; 5 ; 8 ; … (rekenkundige term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 2, d = 3; T₈ = 2 + 7(3) = 23
3
5de term van 3 ; 6 ; 12 ; … (meetkundige term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 3, r = 2; T₅ = 3·2⁴ = 48
4
6de term van 1 ; 3 ; 9 ; … (meetkundige term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 1, r = 3; T₆ = 3⁵ = 243
5
Watter term van 4 ; 7 ; 10 ; … is 61? (watter term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 + (n − 1)3 = 61 → n = 20
6
Watter term van 2 ; 4 ; 8 ; … is 256? (watter term)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2·2^{n − 1} = 256 → 2ⁿ = 256 → n = 8
7
Som van die eerste 10 terme van 2 ; 4 ; 6 ; … (rekenkundige som)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
S₁₀ = 10/2[2(2) + 9(2)] = 5(22) = 110
8
Som van die eerste 15 terme van 3 ; 5 ; 7 ; … (rekenkundige som)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
S₁₅ = 15/2[6 + 14(2)] = 15/2(34) = 255
9
Som tot oneindigheid van 6 + 3 + 1,5 + … (S∞)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
r = 1/2; 6/(1 − 1/2) = 12
10
Som tot oneindigheid van 10 + 2 + 0,4 + … (S∞)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
r = 0,2; 10/(1 − 0,2) = 10/0,8 = 12,5