Gemiddelde gradiënt op ’n kromme — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Waarom ’n kromme nie een enkele gradiënt het nie, hoe om die gemiddelde gradiënt tussen twee punte te bepaal, wat gebeur soos die twee punte na mekaar toe skuif — en hoe daardie idee die gradiënt by ’n enkele punt word, waar differensiaalrekening begin.

Ook bekend as: gemiddelde gradiënt · gradiënt van ’n kromme · snylyn · tempo van verandering graad 11

’n Reguit lyn het een gradiënt, oral langs die lyn. ’n Kromme nie — dit is op sommige plekke steiler as op ander. Die vraag “wat is die gradiënt van y = x²?” het dus nie een enkele antwoord nie, en ons vra eerder ’n nouer vraag: wat is die gradiënt tussen twee spesifieke punte?

1Die gemiddelde gradiënt is bloot die gradiënt van die koord

Verbind die twee punte met ’n reguit lyn — ’n koord, of snylyn — en bepaal die gradiënt daarvan op die gewone manier.

gemiddelde gradiënt = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (f(b) − f(a))/(b − a)

Tussen A(1 ; 1) en B(3 ; 9) op y = x² is die styging 8 en die loop 2, dus is die gemiddelde gradiënt 4.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² tussen x = 1 en x = 3.

1
f(1) = 1² = 1 en f(3) = 3² = 9
Bepaal eers albei y-waardes.
2
gemiddelde gradiënt = (9 − 1)/(3 − 1)
Verandering in y gedeel deur verandering in x.
3
= 8/2 = 4

💡

Dit is presies die gradiëntformule uit analitiese meetkunde. Die enigste nuwe idee is watter twee punte: hulle moet albei op die kromme lê, dus werk jy hul y-waardes uit die vergelyking uit eerder as om hulle af te lees.

2Die gemiddelde gradiënt verander na gelang van waar jy kyk

Dit is die kern van die hele onderwerp. Neem dieselfde kromme en skuif die interval:

f(x) = x² tussen x = 1 en x = 3 → (9 − 1) ÷ 2 = 4
tussen x = 0 en x = 2 → (4 − 0) ÷ 2 = 2
tussen x = 3 en x = 5 → (25 − 9) ÷ 2 = 8

Drie verskillende antwoorde op dieselfde kromme. Die parabool word steiler soos x groter word, en die gemiddelde gradiënt meet dit.

⚠️

Om aan te neem dat ’n negatiewe gemiddelde gradiënt beteken dat die kromme altyd daal. Dit beteken die kromme is aan die einde laer as aan die begin — die kromme kon tussenin gestyg en gedaal het. Die gemiddelde gradiënt sien slegs die twee eindpunte.

3Skuif die punte na mekaar toe

Nou die idee wat na differensiaalrekening lei. Hou een punt vas by x = 1 en bring die tweede een nader:

van x = 1 tot x = 3 → gradiënt 4
van x = 1 tot x = 2 → (4 − 1) ÷ 1 = 3
van x = 1 tot x = 1,5 → (2,25 − 1) ÷ 0,5 = 2,5
van x = 1 tot x = 1,1 → (1,21 − 1) ÷ 0,1 = 2,1
van x = 1 tot x = 1,01 → (1,0201 − 1) ÷ 0,01 = 2,01

Die antwoorde nader 2. Daardie getal is die gradiënt van die kromme by die enkele punt x = 1 — die gradiënt van die raaklyn daar. Jy kan dit nie bereik deur albei punte by x = 1 te plaas nie, omdat dit 0 ÷ 0 gee. Maar jy kan so naby kom as wat jy wil.

soos die twee punte na mekaar toe skuif, word die KOORD die RAAKLYN

💡

Dit is die hele idee van die afgeleide, ’n jaar vroeg. In Graad 12 sal jy dit as ’n limiet skryf en ’n formule daarvoor kry; hier hoef jy net numeries te sien dat die gemiddelde gradiënte op ’n waarde afstuur.

4In konteks: gemiddelde tempo van verandering

Buite grafieke word dieselfde berekening ’n gemiddelde tempo van verandering genoem.

Uitgewerkte voorbeeld’n Bal se hoogte na t sekondes is h(t) = 20t − 5t². Bepaal die gemiddelde tempo van verandering van sy hoogte (sy gemiddelde snelheid) tussen t = 1 en t = 3 sekondes.

1
h(1) = 20(1) − 5(1)² = 15 m
2
h(3) = 20(3) − 5(3)² = 60 − 45 = 15 m
3
gemiddelde tempo = (15 − 15)/(3 − 1) = 0 m/s
4
Die bal is op albei tye op dieselfde hoogte — dit het opgegaan en weer afgekom. Sy gemiddelde snelheid is nul, al het dit 10 m in daardie 2 sekondes afgelê (5 m op en 5 m terug af).
’n Goeie illustrasie van wat die gemiddelde gradiënt jou wel en nie vertel nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² tussen x = 2 en x = 5.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(2) = 4, f(5) = 25 ✓; (25 − 4) ÷ (5 − 2) = 21 ÷ 3 = 7 ✓
2
Bepaal die gemiddelde gradiënt van f(x) = x² + 1 tussen x = −1 en x = 2.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(−1) = 2, f(2) = 5 ✓; (5 − 2) ÷ (2 − (−1)) = 3 ÷ 3 = 1 ✓
3
Skryf die formule vir die gemiddelde gradiënt van f tussen x = a en x = b neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(f(b) − f(a))/(b − a) ✓✓
4
Vir f(x) = x², bereken die gemiddelde gradiënt tussen x = 2 en x = 2,1 (tot twee desimale plekke).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(2) = 4; f(2,1) = 4,41 ✓; (4,41 − 4) ÷ 0,1 ✓ = 4,10 ✓
5
Gebruik die antwoord hierbo om die gradiënt van y = x² BY die punt waar x = 2 te skat.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ongeveer 4 ✓✓ (die gemiddelde gradiënte nader 4 soos die interval krimp)
6
Verduidelik waarom die gradiënt van ’n kromme nie as ’n enkele getal gegee kan word nie, maar die gradiënt van ’n reguit lyn wel.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Reguit lyn het oral dieselfde steilte ✓; ’n kromme se steilte verander van punt tot punt ✓, dus kan ’n gradiënt slegs vir ’n gegewe interval of by ’n gegewe punt gegee word ✓
7
Die gemiddelde gradiënt van f tussen x = 0 en x = 4 is 0. Beteken dit dat die grafiek ’n horisontale lyn is? Verduidelik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee ✓. Dit beteken f(4) = f(0) ✓ — die grafiek keer terug na dieselfde hoogte, maar dit kon tussenin gestyg en gedaal het ✓
8
’n Bal se hoogte is h(t) = 30t − 5t² meter. Bepaal sy gemiddelde snelheid tussen t = 1 en t = 4 sekondes.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
h(1) = 25, h(4) = 120 − 80 = 40 ✓; (40 − 25) ÷ 3 ✓ = 5 m/s ✓
9
Wat word die koord tussen twee punte op ’n kromme soos die twee punte na mekaar toe skuif?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die raaklyn aan die kromme by daardie punt ✓✓
10
Vir f(x) = 2x², bepaal die gemiddelde gradiënt tussen x = 1 en x = 1 + h, en vereenvoudig jou antwoord.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(1) = 2; f(1 + h) = 2(1 + h)² = 2 + 4h + 2h² ✓; gemiddelde gradiënt = (4h + 2h²)/h ✓ = 4 + 2h, h ≠ 0 ✓