Sirkelmeetkunde-ruiters: bewyse, omgekeerdes en metode (Graad 11)

In Graad 10 het ’n ruiter feite oor ewewydige lyne, driehoeke en vierhoeke aan mekaar geketting. Graad 11 voeg die sirkel by, en die vrae word aansienlik moeiliker: ’n enkele ruiter sal van ’n raaklyn na ’n koordevierhoek na ’n paar gelykvormige driehoeke beweeg.

Twee dinge verander van Graad 10 af. Jy moet die stellings kan bewys, nie net toepas nie — ’n bewys is eksamineerbaar en op sy eie tot ses punte werd. En jy moet elke stelling se omgekeerde ken, want die helfte van die punte in ’n ruiter kom daarvan om te bewys dat ’n figuur ’n koordevierhoek is, of dat ’n lyn ’n raaklyn is.

1Die beginpunt: wat jy mag aanneem

Jy aanvaar alles wat in vroeëre grade bewys is, plus een nuwe aksioma:

Alles anders op hierdie bladsy word daaruit en uit die vroeëre grade se werk opgebou.

2’n Stelling bewys — die halvering van ’n koord

3Die middelpuntshoekstelling bewys

Twee van die ander stellings volg direk uit hierdie een. Hoeke in dieselfde segment is gelyk omdat elkeen die helfte van dieselfde middelpuntshoek is. En die hoek in ’n halwe sirkel is 90° omdat die middelpuntshoek ’n gestrekte hoek van 180° is.

4Elke stelling en sy omgekeerde

’n Omgekeerde ruil die gegewe en die gevolgtrekking om. Jy gebruik die stelling om hoeke te bepaal; jy gebruik die omgekeerde om te bewys dat ’n figuur ’n koordevierhoek is of te bewys dat ’n lyn ’n raaklyn is.

• Lyn vanaf middelpunt ⊥ koord halveer dit. Omgekeerde: die lyn vanaf die middelpunt na die middelpunt van ’n koord is loodreg daarop — en die middelloodlyn van ’n koord gaan deur die middelpunt.
• Middelpunts∠ = 2 × omtreks∠. Word gedurig gebruik; geen omgekeerde word geëksamineer nie.
• ∠e in dieselfde segment is gelyk. Omgekeerde: as ’n lynstuk gelyke hoeke onderspan by twee punte aan dieselfde kant daarvan, is daardie vier punte konsiklies.
• Teenoorst. ∠e van ’n kv is supplementêr. Omgekeerde: as die teenoorstaande hoeke van ’n vierhoek saam 180° is, is die vierhoek ’n koordevierhoek.
• Buite∠ van ’n kv = die teenoorstaande binne∠. Omgekeerde: as die buitehoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, is die vierhoek ’n koordevierhoek.
• Twee raaklyne vanaf dieselfde punt is gelyk.
• Raaklyn–koord-∠ = ∠ in die teenoorstaande segment. Omgekeerde: as die hoek tussen ’n lyn en ’n koord gelyk is aan die hoek in die teenoorstaande segment, is daardie lyn ’n raaklyn.

5Hoe om ’n sirkeldiagram te lees

• Vind die middelpunt. As O gemerk is, is elke lyn daarvandaan na die sirkel ’n radius, en alle radiusse is gelyk — dit is ’n gratis gelykheid in enige bewys.
• Vind die raaklyne. ’n Raaklyn gee jou ’n 90° by die raakpunt, en ’n raaklyn–koord-hoek met elke koord wat daarvandaan getrek is.
• Vind die koordevierhoeke. Enige vier punte op die sirkel wat in volgorde verbind word, vorm een. Leerders mis gereeld die tweede koordevierhoek in ’n diagram.
• Merk elke hoek wat jy vind sommer dadelik op die diagram. ’n Ruiter is ’n ketting, en die hoek wat jy in 8.1 gevind het, is byna altyd die ingang tot 8.2.
• Soek die gelykbenige driehoeke. Twee radiusse en ’n koord vorm altyd een.

6Ruiter 1 — ’n reguit ketting

7Ruiter 2 — bewys dat ’n vierhoek ’n koordevierhoek is

8Ruiter 3 — gebruik ’n raaklyn

9Ruiter 4 — ’n ketting van twee stappe

10Die bewoording van redes wat nasieners verwag

• middelpunts∠ = 2 × omtreks∠  ·  ∠e in dies. segment  ·  ∠ in halwe sirkel
• teenoorst. ∠e van kv  ·  buite∠ van kv  ·  omgekeerde teenoorst. ∠e kv
• raaklyn ⊥ radius  ·  raaklyn–koordstelling  ·  raaklyne vanaf dies. punt  ·  omgekeerde raaklyn–koordstelling
• lyn vanaf middelpunt ⊥ koord  ·  lyn vanaf middelpunt na middelpunt van koord  ·  radiusse