Sirkelmeetkunde — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Die stellings wat Vraestel 2-punte bepaal — middelpunt teenoor omtrek, halwe sirkel, dieselfde segment, koordevierhoek, raaklyn–radius en raaklyn–koord — elkeen met die rede om aan te haal, ’n uitgewerkte voorbeeld, ’n diagram en ’n werkblad.

Euklidiese (sirkel-)meetkunde beloon geheue en noukeurige redenering meer as enige ander onderwerp. Die stellings lê vas, en volpunte gaan na leerders wat die korrekte rede gee vir elke stap. Hierdie gids gee elke sleutelstelling met ’n uitgewerkte voorbeeld en die rede om aan te haal.

1Die kernstellings (en hul redes)

Middelpuntshoek = 2 × omtrekshoek (dieselfde boog). Rede: middelpunts∠ = 2 × omtreks∠.
Die hoek in ’n halwe sirkel is 90°. Rede: ∠ in halwe sirkel.
Hoeke in dieselfde segment (dieselfde boog) is gelyk. Rede: ∠e in dies. segment.
Teenoorstaande hoeke van ’n koordevierhoek is saam 180°. Rede: teenoorst. ∠e van kv.
’n Raaklyn is loodreg op die radius by die raakpunt. Rede: raaklyn ⊥ radius.
Raaklyn–koord-hoek = hoek in die teenoorstaande segment. Rede: raaklyn–koordstelling.
Die lyn vanaf die middelpunt loodreg op ’n koord halveer die koord (en die lyn vanaf die middelpunt na die middelpunt van ’n koord is loodreg daarop). Rede: lyn vanaf middelpunt ⊥ koord.
Twee raaklyne wat vanaf dieselfde punt buite ’n sirkel getrek word, is ewe lank. Rede: raaklyne vanaf dies. punt.
Die buitehoek van ’n koordevierhoek is gelyk aan die teenoorstaande binnehoek. Rede: buite∠ van kv.

Die middelpuntshoek (2x) is twee keer die omtrekshoek (x) op dieselfde boog AB.

2Tipe 1: Middelpunt en omtrek

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: ’n boog onderspan 80° by die middelpunt; bepaal die omtrekshoek

1
Omtrekshoek = 80° ÷ 2 = 40°.
middelpunts∠ = 2 × omtreks∠ (dieselfde boog).
2
Gee die rede saam met jou antwoord.
Die rede is op sy eie ’n punt werd.

3Tipe 2: Hoek in ’n halwe sirkel

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: AB is ’n middellyn en P is op die sirkel; PÂB = 35°. Bepaal AP̂B en AB̂P

1
AP̂B = 90°.
Hoek in ’n halwe sirkel (AB is ’n middellyn).
2
AB̂P = 180° − 90° − 35° = 55°.
Die hoeke van driehoek APB is saam 180°.

4Tipe 3: Koordevierhoek

’n Koordevierhoek ABCD (al vier hoekpunte op die sirkel): teenoorstaande hoeke A en C is saam 180°, en so ook B en D.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: ’n koordevierhoek het een hoek van 95°. Bepaal die teenoorstaande hoek

1
Teenoorstaande hoek = 180° − 95° = 85°.
Teenoorst. ∠e van ’n kv is saam 180°.

5Tipe 4: Dieselfde segment

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: twee hoeke staan op dieselfde boog; een is 48°. Bepaal die ander

1
Die ander hoek = 48°.
Hoeke in dieselfde segment (dieselfde boog) is gelyk.

6Tipe 5: Raaklyn–koord (teenoorstaande segment)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: ’n raaklyn–koord-hoek is 62°. Bepaal die hoek in die teenoorstaande segment

1
Hoek in die teenoorstaande segment = 62°.
Raaklyn–koord-hoek = hoek in die teenoorstaande segment.

💡

Maak flitskaarte met die stelling aan die een kant en die aanvaarde bewoording van die ‘rede’ aan die ander kant. In die eksamen moet jy die rede aanhaal, nie net die resultaat nie.

⚠️

Moenie aanneem dat ’n lyn ’n middellyn is of dat ’n vierhoek ’n koordevierhoek is nie, tensy dit gegee is of jy dit kan bewys. As jy ’n stelling gebruik waarvan die voorwaardes nie nagekom word nie, verloor jy punte.

Dieselfde stellings kom in Graad 12 terug, dus tel die moeite twee keer. Pak elke ruiter aan — korrekte bewerings met redes kry punte, selfs as jy nie die hele bewys kan voltooi nie. Oefen hieronder.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
’n Boog onderspan 120° by die middelpunt. Omtrekshoek? (middelpunt/omtrek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
120° ÷ 2 = 60°
2
Die omtrekshoek is 35°. Middelpuntshoek (dieselfde boog)? (middelpunt/omtrek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2 × 35° = 70°
3
AB is ’n middellyn, P op die sirkel. Wat is AP̂B? (halwe sirkel)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
90° (hoek in ’n halwe sirkel)
4
In ’n halwe sirkel is PÂB = 40°. Bepaal AB̂P. (halwe sirkel)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
180° − 90° − 40° = 50°
5
’n Hoek van ’n koordevierhoek is 110°. Teenoorstaande hoek? (koordevierhoek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
180° − 110° = 70°
6
’n Hoek van ’n koordevierhoek is 75°. Teenoorstaande hoek? (koordevierhoek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
180° − 75° = 105°
7
Twee hoeke staan op dieselfde boog; een is 52°. Die ander? (dieselfde segment)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
52° (gelyk)
8
Raaklyn–koord-hoek is 70°. Hoek in die teenoorstaande segment? (raaklyn–koord)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
70°
9
’n Raaklyn ontmoet ’n radius by die raakpunt. Wat is die hoek? (raaklyn–radius)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
90° (raaklyn ⊥ radius)
10
Middelpuntshoek = 2x en is gelyk aan 100°. Bepaal x, die omtrekshoek. (los op)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x = 100 → x = 50°