Eksponentwette en eksponensiële vergelykings — Graad 11

Die eksponentwette, insluitend rasionale eksponente, die vereenvoudiging van uitdrukkings met verskillende grondtalle, en die oplos van eksponensiële vergelykings deur die grondtalle dieselfde te maak of deur te faktoriseer.

Kyk die video's (Engels)

1Die wette

a^m × aⁿ = a^{m + n} · a^m/aⁿ = a^{m − n} · (a^m)ⁿ = a^mn
a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a^m/n = ⁿ√a^m
vir ’n grondtal a > 0 (dus is dit nooit 0 nie), en n > 0 in die wortel

💡

’n Negatiewe eksponent is ’n opdrag om te skuif, nie om negatief te maak nie. 2⁻³ = 1/8, nooit −8 nie.

2Rasionale eksponente

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig 16^3/4

1
Die noemer 4 is die wortel: die VIERDEMAGSWORTEL van 16 = 2.
Trek eers die wortel — die getalle bly klein.
2
Die teller 3 is die mag: 2³ = 8.
3
= 8.

3Vereenvoudiging met verskillende grondtalle

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig (9ⁿ × 3^{n + 1})/27ⁿ

1
Skryf elke grondtal as ’n mag van 3: 9 = 3², 27 = 3³.
Jy kan eksponente slegs optel wanneer die grondtalle dieselfde is.
2
= (3²ⁿ × 3^{n + 1})/3³ⁿ.
(3²)ⁿ = 3²ⁿ.
3
= 3^{2n + n + 1 − 3n}.
Tel bo op, trek onder af.
4
= 3¹ = 3.
2n + n − 3n = 0.

4Eksponensiële vergelykings: dieselfde grondtal

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 3^{x + 2} = 81

1
81 = 3⁴.
Skryf albei kante met grondtal 3.
2
3^{x + 2} = 3⁴.
3
x + 2 = 4, dus x = 2.
Gelyke grondtalle ⇒ gelyke eksponente — die grondtal 3 is positief en nie 1 nie, en dit is wat daardie stap geldig maak.

5Eksponensiële vergelykings: faktorisering

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 2^2x − 5(2^x) + 4 = 0

1
Laat k = 2^x. Dan is 2^2x = k².
2^2x = (2^x)² — hierdie vervanging is die hele truuk.
2
k² − 5k + 4 = 0 → (k − 1)(k − 4) = 0.
3
k = 1 of k = 4, dus 2^x = 1 of 2^x = 4.
Vervang terug — moet nooit die antwoord as k laat nie.
4
x = 0 of x = 2.
2⁰ = 1 en 2² = 4.

⚠️

2^x kan nooit nul of negatief wees nie. As ’n vervanging k = −3 gee, verwerp dit en sê waarom.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Vereenvoudig 16^3/4
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(4de wortel van 16)³ = 2³ = 8
2
Vereenvoudig 2⁻³
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/8
3
Vereenvoudig (9ⁿ × 3^{n + 1})/27ⁿ
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3^{2n + n + 1 − 3n} = 3¹ = 3
4
Los op vir x: 3^{x + 2} = 81
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3^{x + 2} = 3⁴ → x = 2
5
Los op vir x: 5^{2x − 1} = 125
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x − 1 = 3 → x = 2
6
Los op vir x: 2^2x − 5(2^x) + 4 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Laat k = 2^x: (k − 1)(k − 4) = 0 → x = 0 of x = 2
7
Los op vir x: 3^2x − 4(3^x) + 3 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(k − 1)(k − 3) = 0 → x = 0 of x = 1
8
Vereenvoudig 8^2/3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(derdemagswortel van 8)² = 2² = 4