Analitiese meetkunde — Graad 11 en 12 Wiskunde (KABV)

Die vergelyking van ’n lyn deur twee punte, lyne ewewydig en loodreg op ’n gegewe lyn, en die inklinasiehoek θ waar m = tanθ.

1Die Graad 10-gereedskap, hersien

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) (x₂ ≠ x₁; ’n vertikale lyn het geen gradiënt nie)
M = ( (x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2 )

2Vergelyking van ’n lyn

y − y₁ = m(x − x₁)

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die vergelyking van die lyn deur A(−1 ; 2) en B(3 ; 10)

1
m = (10 − 2)/(3 − (−1)) = 8/4 = 2.
Gradiënt eerste, altyd.
2
y − 2 = 2(x − (−1)).
Stel enige punt in — A word hier gebruik.
3
y − 2 = 2x + 2.
4
y = 2x + 4.
Kontroleer met B: 2(3) + 4 = 10 ✓

3Ewewydig en loodreg

Ewewydig: m₁ = m₂
Loodreg: m₁ × m₂ = −1

💡

Vertikale lyne is die uitsondering. ’n Vertikale lyn het geen gradiënt nie, dus kan die produkreël nie daarvoor gebruik word nie: ’n lyn loodreg op ’n vertikale lyn is horisontaal (gradiënt 0), en andersom. Vir twee nie-vertikale lyne beteken loodreg dat m₁ × m₂ = −1.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die lyn deur (2 ; 5) loodreg op y = 2x + 4

1
m van die gegewe lyn = 2.
Die koëffisiënt van x.
2
Loodregte gradiënt: 2 × m = −1 → m = −1/2.
Die negatiewe omgekeerde — draai dit om en verander die teken.
3
y − 5 = −1/2(x − 2).
4
y = −1/2x + 6.

4Inklinasiehoek

m = tanθ waar 0° ≤ θ < 180°

θ is die hoek wat die lyn met die positiewe x-as maak, anti-kloksgewys gemeet.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die inklinasiehoek van y = 2x + 4

1
tanθ = 2.
Die gradiënt is die tangens van die inklinasiehoek.
2
θ = tan⁻¹(2) = 63,43°.
3
θ ≈ 63,4°.
Positiewe gradiënt ⇒ skerp hoek. Sinvol.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die inklinasiehoek van ’n lyn met m = −1

1
tanθ = −1 gee verw. = 45°.
Neem tan⁻¹ van die positiewe waarde.
2
’n Negatiewe gradiënt beteken θ is stomp.
Die lyn hel af na regs.
3
θ = 180° − 45° = 135°.

⚠️

’n Sakrekenaar gee tan⁻¹(−1) = −45°. Dit is nie ’n inklinasiehoek nie — θ moet in [0° ; 180°) lê, dus tel 180° by om 135° te kry.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die gradiënt van die lyn deur A(−1 ; 2) en B(3 ; 10).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(10 − 2)/(3 + 1) = 2
2
Bepaal die vergelyking van die lyn deur A(−1 ; 2) en B(3 ; 10).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = 2x + 4
3
Bepaal die lengte van AB waar A(−1 ; 2) en B(3 ; 10).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√(4² + 8²) = √80 = 4√5 ≈ 8,94
4
Bepaal die middelpunt van AB waar A(−1 ; 2) en B(3 ; 10).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(1 ; 6)
5
Bepaal die vergelyking van die lyn deur (2 ; 5) loodreg op y = 2x + 4.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
m = −1/2 → y = −1/2x + 6
6
Bepaal die vergelyking van die lyn deur (0 ; 1) ewewydig aan y = 2x + 4.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = 2x + 1
7
Bepaal die inklinasiehoek van y = 2x + 4 (een desimale plek).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
tanθ = 2 → θ ≈ 63,4°
8
Bepaal die inklinasiehoek van ’n lyn met gradiënt −1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
verw. = 45°, stomp → θ = 135°