Kongruente en gelykvormige driehoeke — Graad 9 (KABV)

Die vier voorwaardes wat bewys dat twee driehoeke kongruent is — SSS, SHS, HHS en RSS — hoe om die ooreenkoms reg te skryf, en hoe gelykvormigheid verskil. Met getekende figure vir elke voorwaarde, uitgewerkte bewyse en ’n vasvra.

Ook bekend as: kongruente driehoeke · SSS SHS HSH RSS · gelykvormige driehoeke

In Graad 8 het jy geleer wat kongruent en gelykvormig beteken. Graad 9 vra iets moeiliker: bewys dit. Jy hoef nie al ses afmetings (drie sye en drie hoeke) na te gaan nie — daar is vier kortpaaie, en om te weet watter een om aan te haal, is waar die punte lê.

1Die ooreenkoms reg skryf

Wanneer jy △ABC ≡ △DEF skryf, beweer jy dat A by D pas, B by E en C by F in daardie volgorde. Die volgorde is nie versiering nie — dit vertel die nasiener watter sye en hoeke jy saam paar.

⚠️

Om △ABC ≡ △EDF te skryf wanneer die hoekpunte eintlik A→D, B→E, C→F paar, word as verkeerd gemerk, selfs al is die driehoeke werklik kongruent. Lys die hoekpunte altyd in ooreenstemmende volgorde.

2Voorwaarde 1: SSS (sy, sy, sy)

As al drie pare sye gelyk is, is die driehoeke kongruent. Ooreenstemmende sye word met ooreenstemmende merkies aangedui.

SSS: elke paar ooreenstemmende sye is gelyk, dus moet die driehoeke kongruent wees.

3Voorwaarde 2: SHS (sy, hoek, sy)

Twee pare sye is gelyk en die hoek tussen hulle is gelyk. Die hoek moet die ingeslote hoek wees — die een wat deur daardie twee sye gevorm word.

SHS: die gelyke hoek lê tussen die twee gemerkte sye.

⚠️

As die gelyke hoek nie tussen die twee gelyke sye lê nie, is dit nie SHS nie en bewys dit nie kongruensie nie. Kontroleer dat die hoek tussen die twee gemerkte sye lê.

4Voorwaarde 3: HHS (hoek, hoek, sy)

Twee pare hoeke is gelyk en een paar ooreenstemmende sye is gelyk. Sodra twee hoeke ooreenstem, moet die derde ook ooreenstem (die hoeke van ’n driehoek tel op tot 180°) — dus is net een sy nodig.

HHS: twee gelyke hoeke plus een ooreenstemmende gelyke sy.

💡

HHH is nie ’n kongruensievoorwaarde nie. Drie gelyke hoeke gee die driehoeke net dieselfde vorm — dit is gelykvormigheid, nie kongruensie nie. Sonder ’n sy kan jy nie die grootte vaslê nie.

5Voorwaarde 4: RSS (regte hoek, skuinssy, sy)

Net vir reghoekige driehoeke: as die skuinssye gelyk is en een ander paar sye gelyk is, is die driehoeke kongruent.

RSS: ’n regte hoek in elkeen, gelyke skuinssye en een ander gelyke sy.

6’n Kongruensiebewys skryf

Uitgewerkte voorbeeldGegee AB = DE, BC = EF en B̂ = Ê, bewys dat △ABC ≡ △DEF

1
Stelling: AB = DE (gegee)
Haal elke gelyke paar met sy rede aan.
2
Stelling: BC = EF (gegee)
3
Stelling: B̂ = Ê (gegee)
Hierdie hoek lê tussen die twee gelyke sye.
4
Dus △ABC ≡ △DEF (SHS)
Eindig altyd deur die voorwaarde te noem wat jy gebruik het — dit dra sy eie punt.

💡

Skryf bewyse uit as stelling en dan rede, een paar per reël, en eindig met die voorwaarde (SSS / SHS / HHS / RSS). Nasieners ken die punte vir die redes apart van die stellings toe.

7Gelykvormigheid: dieselfde vorm, nie noodwendig dieselfde grootte nie

Twee driehoeke is gelykvormig (geskryf |||) wanneer hulle hoeke gelyk is en hulle sye in dieselfde verhouding is. Vir driehoeke is gelyke hoeke genoeg — as twee pare hoeke ooreenstem, is die driehoeke gelykvormig.

△ABC ||| △DEF ⇒ AB/DE = BC/EF = AC/DF

Die minimum voorwaardes werk ook andersom. Twee driehoeke is gelykvormig as óf twee pare ooreenkomstige hoeke gelyk is (die derde paar moet dan ook gelyk wees), óf al drie pare ooreenkomstige sye in dieselfde verhouding is.

⚠️

Twee pare sye in dieselfde verhouding bewys op hulle eie nie gelykvormigheid nie. 6 en 9, 8 en 12 is albei in die verhouding 1 : 1,5 — maar totdat jy weet dat die derde paar ook in daardie verhouding is (of dat ’n paar hoeke gelyk is), kan die driehoeke steeds verskillende vorms hê. Kontroleer al drie pare, of werk met die hoeke.

Uitgewerkte voorbeeld△ABC ||| △DEF met AB = 4, DE = 12 en BC = 5. Bepaal EF

1
Skaalfaktor = DE ÷ AB = 12 ÷ 4 = 3.
Deel ’n sy van die groot driehoek deur sy ooreenstemmende klein sy.
2
EF = BC × 3 = 5 × 3.
Elke sy word met dieselfde faktor vergroot.
3
EF = 15.
Kontroleer: 4 : 12 = 5 : 15 ✓

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Noem die vier voorwaardes vir kongruente driehoeke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
SSS, SHS, HHS en RSS
2
Waarom is HHH nie ’n kongruensievoorwaarde nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Gelyke hoeke bepaal net die vorm, nie die grootte nie — dit gee gelykvormigheid, nie kongruensie nie.
3
Waar moet die gelyke hoek by SHS wees?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Tussen die twee gelyke sye (die ingeslote hoek).
4
Watter voorwaarde geld net vir reghoekige driehoeke?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
RSS
5
As △ABC ≡ △PQR, watter sy is gelyk aan BC?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
QR (B paar met Q en C met R)
6
As △ABC ≡ △PQR, watter hoek is gelyk aan Â?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
P̂
7
△ABC ||| △DEF met AB = 3, DE = 9 en BC = 4. Bepaal EF.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Skaalfaktor 3 → EF = 12
8
Die twee driehoeke hieronder is volgens dieselfde skaal geteken. Bepaal of hulle gelykvormig is, met ’n rede, en skryf die skaalfaktor van die kleiner na die groter neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
9 ÷ 6 = 1,5; 12 ÷ 8 = 1,5; 15 ÷ 10 = 1,5 — al drie pare ooreenkomstige sye is in dieselfde verhouding, dus ja, die driehoeke is gelykvormig, met skaalfaktor 1,5