Algebraïese uitdrukkings faktoriseer — Graad 9 (KABV)

Die vier soorte faktorisering wat die Graad 9-ATP vra — gemeenskaplike faktore, die verskil van twee kwadrate, drieterme van die vorm x² + bx + c, en drieterme waarvan die x²-koëffisiënt as ’n gemeenskaplike faktor uitgehaal word — elk met ’n uitgewerkte voorbeeld en ’n werkblad, plus ’n kort voorskou van Graad 10 aan die einde.

Ook bekend as: faktorisering · faktoriseer · gemeenskaplike faktor · verskil van twee kwadrate

Faktoriseer beteken om ’n uitdrukking as ’n produk (dinge wat vermenigvuldig word) in plaas van ’n som te skryf. Dit is presies die omgekeerde van hakies uitbrei: uitbrei verander x(x + 3) in x² + 3x, dus verander faktorisering x² + 3x terug in x(x + 3). Hierdie les dek elke soort faktorisering wat ’n Graad 9-eksamen kan vra, in die volgorde waarin jy hulle moet probeer.

Die een gewoonte wat nooit faal nie: soek eerste na ’n gemeenskaplike faktor. Tel dan die terme — dit sê vir jou watter metode volgende kom: 2 terme → verskil van twee kwadrate, 3 terme → drieterm. (Vier terme vereis groepering, wat Graad 10-werk is — sien die voorskou aan die einde.)

1Soort 1: Gemeenskaplike faktor (kontroleer dit altyd eerste)

Faktorisering is dieselfde prentjie agteruit gelees — vind die sy wat albei reghoeke gemeen het.

Haal enigiets uit wat elke term deel — die grootste gemeenskaplike getal en die laagste mag van enige gedeelde veranderlike — en skryf dit buite ’n hakie.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1a: getalle en een veranderlike: 6x² + 9x

1
Die grootste gemeenskaplike getal van 6 en 9 is 3.
3 deel in sowel 6 as 9.
2
Albei terme bevat x, dus kom x ook uit.
Neem die laagste mag van x wat voorkom, en dit is x¹.
3
Haal 3x: 6x² + 9x = 3x(2x + 3) uit.
6x² ÷ 3x = 2x en 9x ÷ 3x = 3.
4
Kontroleer deur uit te brei: 3x × 2x = 6x² en 3x × 3 = 9x. ✓
Om terug uit te brei moet die oorspronklike gee.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1b: twee veranderlikes: 12a²b − 8ab²

1
Die gemeenskaplike getal van 12 en 8 is 4.
4 is die GGF van 12 en 8.
2
Albei terme deel a en b; die laagste magte is a¹ en b¹, dus kom ab uit.
Neem die kleinste mag van elke gedeelde veranderlike.
3
Haal 4ab: 12a²b − 8ab² = 4ab(3a − 2b) uit.
12a²b ÷ 4ab = 3a en 8ab² ÷ 4ab = 2b.

2Soort 2: Verskil van twee kwadrate (presies 2 terme)

Wanneer jy ’n kwadraat minus ’n kwadraat sien, verdeel dit in twee hakies wat identies is behalwe vir die teken — een plus, een minus.

a² − b² = (a + b)(a − b)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2a: basies: x² − 25

1
Herken dat albei dele volkome vierkante is: x² en 25 = 5².
Die eerste teken moet minus wees vir hierdie metode.
2
Neem die vierkantswortel van elkeen: √x² = x en √25 = 5.
Dit word die a en b in die hakies.
3
Skryf (x + 5)(x − 5).
Een hakie met +, een met −.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2b: met ’n koëffisiënt: 9x² − 16

1
9x² = (3x)² en 16 = 4², dus is albei kwadrate.
Neem ook die vierkantswortel van die koëffisiënt: √9 = 3.
2
Die wortels is 3x en 4, wat (3x + 4)(3x − 4) gee.
Pas a² − b² toe met a = 3x, b = 4.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2c: gemeenskaplike faktor EERSTE, dan kwadrate: 2x² − 50

1
Haal die gemeenskaplike faktor 2 uit: 2x² − 50 = 2(x² − 25).
Doen altyd Soort 1 eerste — dit vereenvoudig wat oorbly.
2
Nou is x² − 25 ’n verskil van twee kwadrate: 2(x + 5)(x − 5).
Faktoriseer die hakie volledig.

⚠️

’n SOM van kwadrate faktoriseer nie. x² + 25 bly soos dit is — die reël vir die verskil van twee kwadrate werk net met ’n minusteken.

3Soort 3: Drieterme x² + bx + c (3 terme)

Vind twee getalle wat c gee as hulle vermenigvuldig word en b gee as hulle opgetel word. Die tekens van b en c sê vir jou na watter soort getalle om te soek — hier is al vier gevalle.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3a: albei tekens positief: x² + 7x + 12

1
Twee getalle nodig: produk 12, som 7.
Albei positief omdat c en b positief is.
2
3 en 4: 3 × 4 = 12 en 3 + 4 = 7.
Toets faktorpare van 12 teen die som wat jy nodig het.
3
Antwoord: (x + 3)(x + 4).
Albei hakies het +.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3b: c positief, b negatief: x² − 7x + 12

1
Produk +12 en som −7 nodig.
’n Positiewe produk met ’n negatiewe som beteken AL TWEE getalle is negatief.
2
−3 en −4: (−3)(−4) = 12 en −3 + (−4) = −7.
Twee negatiewes vermenigvuldig tot positief en tel op tot negatief.
3
Antwoord: (x − 3)(x − 4).
Albei hakies het −.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3c: c negatief (groter getal positief): x² + x − 12

1
Produk −12 en som +1 nodig.
’n Negatiewe produk beteken die twee getalle het VERSKILLENDE tekens.
2
+4 en −3: (4)(−3) = −12 en 4 + (−3) = +1.
Die groter getal (4) is positief omdat die som positief is.
3
Antwoord: (x + 4)(x − 3).
Verskillende tekens in die hakies.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3d: c negatief (groter getal negatief): x² − x − 12

1
Produk −12 en som −1 nodig.
Weer verskillende tekens (negatiewe produk).
2
−4 en +3: (−4)(3) = −12 en −4 + 3 = −1.
Die groter getal (4) is nou negatief omdat die som negatief is.
3
Antwoord: (x − 4)(x + 3).
Vergelyk met 3c — net die tekens het omgeruil.

c positief, b positief → albei getalle positief: (x + _)(x + _)
c positief, b negatief → albei getalle negatief: (x − _)(x − _)
c negatief → een van elke teken; die groter getal kry die teken van b

4Soort 4: ax² + bx + c wanneer a ’n gemeenskaplike faktor is

As die x² ’n koëffisiënt het, soek eers na ’n gemeenskaplike faktor. In Graad 9 kom die koëffisiënt altyd as ’n gemeenskaplike faktor uit, en wat oorbly, is ’n gewone drieterm van Soort 3.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: 3x² + 15x + 18

1
Haal die gemeenskaplike faktor 3 uit: 3(x² + 5x + 6).
3 deel in elke term, dus kom dit eerste uit.
2
Faktoriseer die drieterm: twee getalle met ’n produk van 6 en ’n som van 5 → 2 en 3.
Dit is weer Soort 3.
3
3(x + 2)(x + 3)
Hou die 3 voor — dit is deel van die antwoord.

5Hoe om die regte metode te kies

Stap 1 — Haal altyd eers ’n gemeenskaplike faktor uit (Soort 1).
Stap 2 — Tel dan die terme van wat oorbly.
2 terme en ’n minus tussen kwadrate → verskil van twee kwadrate (Soort 2).
3 terme → drieterm (Soort 3). As die x² ’n koëffisiënt het, haal dit eers as ’n gemeenskaplike faktor uit (Soort 4).
4 terme → groepering — Graad 10-werk (sien die voorskou hieronder).

💡

Faktoriseer volledig. Kontroleer ná enige metode of ’n hakie nog verder gefaktoriseer kan word — bv. 2(x² − 9) is nie klaar voordat dit 2(x + 3)(x − 3) word nie.

⚠️

Kontroleer altyd deur uit te brei. Vermenigvuldig jou hakies weer uit; as jy nie presies die oorspronklike uitdrukking kry nie, is ’n teken of getal verkeerd. Hierdie een gewoonte vang die meeste eksamenfoute.

Soorte 1 tot 4 is presies wat die Graad 9-ATP vra. Werk deur die werkblad hieronder totdat jy die regte metode kan noem sodra jy die uitdrukking sien — daardie onmiddellike herkenning is wat volpunte onder eksamendruk verdien.

6Vooruitskouing: faktorisering in Graad 10

Nie in die Graad 9-ATP nie. Graad 10 brei faktorisering uit na drieterme waarvan die x²-koëffisiënt NIE ’n gemeenskaplike faktor is nie, en na uitdrukkings met vier terme. Jy sal dit nie in ’n Graad 9-toets gevra word nie; dit is hier sodat die volgende stap nie ’n verrassing is nie.

Wanneer die x² ’n ander koëffisiënt as 1 het, gebruik die ac-metode: vermenigvuldig a × c, verdeel die middelste term, en faktoriseer dan deur groepering.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 10 — die ac-metode: 2x² + 7x + 3

1
Vermenigvuldig a × c = 2 × 3 = 6. Vind twee getalle: produk 6, som 7 → 6 en 1.
Dieselfde tweegetal-idee, maar die produk is nou ac, nie net c nie.
2
Verdeel die middelste term: 2x² + 6x + 1x + 3.
Herskryf 7x as 6x + 1x met die twee getalle.
3
Groepeer in pare: 2x(x + 3) + 1(x + 3).
Faktoriseer elke paar afsonderlik.
4
Haal (x + 3): (x + 3)(2x + 1) uit.
Albei dele deel die hakie (x + 3).

Groepering (Graad 10). Met vier terme groepeer jy hulle in twee pare, faktoriseer elke paar, en haal dan die gemeenskaplike hakie uit.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 10 — groepering: x³ + 2x² + 3x + 6

1
Groepeer: (x³ + 2x²) + (3x + 6).
Paar terme wat ’n faktor deel.
2
Faktoriseer elke paar: x²(x + 2) + 3(x + 2).
x² kom uit die eerste paar, 3 uit die tweede.
3
Haal (x + 2): (x + 2)(x² + 3) uit.
Die gedeelde hakie is die gemeenskaplike faktor.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Faktoriseer 5x + 15 (gemeenskaplike faktor)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
GGF is 5 → 5(x + 3)
2
Faktoriseer 8a²b − 12ab (gemeenskaplike faktor)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
GGF is 4ab → 4ab(2a − 3)
3
Faktoriseer x² − 49 (verskil van twee kwadrate)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√x² = x, √49 = 7 → (x + 7)(x − 7)
4
Faktoriseer 25x² − 9 (verskil van twee kwadrate)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√25x² = 5x, √9 = 3 → (5x + 3)(5x − 3)
5
Faktoriseer 3x² − 27 (gemeenskaplike faktor eerste)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= 3(x² − 9) = 3(x + 3)(x − 3)
6
Faktoriseer x² + 9x + 20 (drieterm, albei +)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Produk 20, som 9 → 4 en 5 → (x + 4)(x + 5)
7
Faktoriseer x² − 8x + 15 (drieterm, c + b −)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Produk 15, som −8 → −3 en −5 → (x − 3)(x − 5)
8
Faktoriseer x² + 2x − 15 (drieterm, c −)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Produk −15, som +2 → +5 en −3 → (x + 5)(x − 3)
9
Faktoriseer x² − 2x − 15 (drieterm, c −)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Produk −15, som −2 → −5 en +3 → (x − 5)(x + 3)
10
Faktoriseer 2x² + 14x + 20 (gemeenskaplike faktor, dan drieterm)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= 2(x² + 7x + 10); produk 10, som 7 → 2 en 5 → 2(x + 2)(x + 5)
11
Faktoriseer 5x² − 5x − 30 (gemeenskaplike faktor, dan drieterm)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= 5(x² − x − 6); produk −6, som −1 → −3 en +2 → 5(x − 3)(x + 2)
12
Faktoriseer x²y − 9y (gemeenskaplike faktor, dan verskil van twee kwadrate)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= y(x² − 9) = y(x + 3)(x − 3)
13
Faktoriseer a² − 6a + 9 (drieterm)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Produk 9, som −6 → −3 en −3 → (a − 3)(a − 3) = (a − 3)²
14
Faktoriseer 4x² − 100 (gemeng)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= 4(x² − 25) = 4(x + 5)(x − 5)
15
Faktoriseer 2x² − 2x − 24 (gemeng)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
= 2(x² − x − 12) = 2(x − 4)(x + 3)