Finansies: groei en verval — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Saamgestelde groei en verval, reguitlyn- teenoor verminderende-saldo-waardevermindering, verskillende saamstellingsperiodes, die verskil tussen ’n nominale en ’n effektiewe rentekoers, en die Graad 10-hersiening van huurkoop wat die ATP steeds verwag.

1Die vier formules

Groei
Enkelvoudig: A = P(1 + in) · Saamgesteld: A = P(1 + i)ⁿ

Verval
Reguitlyn: A = P(1 − in) · Verminderende saldo: A = P(1 − i)ⁿ

💡

Enkelvoudig en reguitlyn is dié sonder ’n mag. Saamgesteld en verminderende saldo het albei die ⁿ.

Uitgewerkte voorbeeldR15 000 word teen 8% p.j. jaarliks saamgestel vir 5 jaar belê

1
A = 15 000(1 + 0,08)⁵.
i = 8% = 0,08, n = 5.
2
= 15 000(1,08)⁵.
3
= 15 000 × 1,469328.
4
= R22 039,92.

2Hersiening uit Graad 10: huurkoop

Die Graad 11-ATP vra dat jy die groeiformules hersien “insluitend rente, huurkoop, inflasie, bevolkingsgroei”, dus kan dit sonder waarskuwing in ’n Graad 11-vraestel verskyn. Huurkoop is ’n deposito plus enkelvoudige rente wat gehef word op wat nog geskuld word — nie op die volle kontantprys nie. Die volledige behandeling is in die Graad 10-les Huurkoop, wisselkoerse en bevolkingsgroei; dit is die vorm van die vraag.

Uitgewerkte voorbeeld’n Skootrekenaar se kontantprys is R14 500. Op huurkoop: 15% deposito, die balans oor 3 jaar teen 12,5% p.j. enkelvoudige rente. Bepaal die maandelikse paaiement.

1
Deposito = 0,15 × 14 500 = R2 175, dus is die lening 14 500 − 2 175 = R12 325.
Rente word op die BALANS gehef, nooit op die kontantprys nie.
2
A = P(1 + in) = 12 325(1 + 0,125 × 3) = 12 325 × 1,375 = R16 946,88
Huurkoop is enkelvoudige rente — geen eksponent nie.
3
Maandelikse paaiement = 16 946,88 ÷ 36 = R470,75
Drie jaar is 36 maande.
4
Totaal betaal = 2 175 + 16 946,88 = R19 121,88, wat R4 621,88 meer as die kontantprys is.
Daardie verskil is presies die rente: 12 325 × 0,375 ✓

3Waardevermindering: twee baie verskillende antwoorde

Uitgewerkte voorbeeld’n Motor van R240 000 se waarde verminder teen 15% p.j. vir 4 jaar

1
Reguitlyn: A = 240 000(1 − 0,15 × 4) = 240 000(0,4) = R96 000.
Elke jaar gaan dieselfde randbedrag verlore.
2
Verminderende saldo: A = 240 000(1 − 0,15)⁴ = 240 000(0,85)⁴.
Elke jaar gaan 15% van wat OORBLY verlore.
3
= R125 281,50.
Hoër — verminderende saldo bereik nooit nul nie.

⚠️

Lees die vraag. ‘Waardevermindering op ’n verminderende saldo’ en ‘waardevermindering op ’n reguitlyn’ gee heeltemal verskillende antwoorde uit dieselfde getalle.

4Meer gereeld as jaarliks saamstel

A = P(1 + i/m)^mn

m = 12 maandeliks · 4 kwartaalliks · 2 halfjaarliks

Uitgewerkte voorbeeldR15 000 teen 8% p.j. maandeliks saamgestel vir 5 jaar

1
i = 0,08, m = 12, n = 5.
2
A = 15 000(1 + 0,08/12)⁶⁰.
mn = 12 × 5 = 60 periodes.
3
= R22 347,69.
Meer as die R22 039,92 van jaarlikse saamstelling — rente verdien gouer rente.

5Nominale teenoor effektiewe koerse

1 + i_eff = (1 + i_nom/m)^m

Die nominale koers is die geadverteerde jaarlikse koers. Die effektiewe koers is wat jy werklik verdien sodra saamstelling in ag geneem word.

Uitgewerkte voorbeeldSkakel 8% p.j. maandeliks saamgestel om na ’n effektiewe jaarlikse koers

1
1 + i_eff = (1 + 0,08/12)¹².
2
= 1,083000.
3
i_eff = 8,30% p.j.
Altyd effens hoër as die nominale koers.

6Inflasie, bevolking en wisselkoerse

Hierdie gebruik almal die formule vir saamgestelde groei. Inflasie laat pryse groei; ’n verswakkende rand beteken jy betaal meer rand vir dieselfde dollar.

Uitgewerkte voorbeeld’n Brood kos R18. Inflasie is 6% p.j. Wat sal dit oor 8 jaar kos?

1
A = 18(1,06)⁸.
Inflasie is saamgestelde groei.
2
= R28,69.

7Wisselende wisselkoerse

Die ATP vra dat jy die implikasie verstaan van ’n veranderende wisselkoers — op die petrolprys, op invoere en uitvoere, en op oorsese reis. Die rekenwerk is maklik; die punte lê in die verduideliking.

’n Swakker rand (R18 → R20 per dollar) beteken jy het MEER rand vir elke dollar nodig. Invoere en petrol word duurder, en oorsese reis kos meer.
’n Sterker rand beteken minder rand per dollar. Invoere word goedkoper — maar uitvoerders verdien minder vir dieselfde goedere.
Petrol word in dollar per vat geprys, dus stoot ’n verswakkende rand die pompprys op, selfs wanneer die olieprys glad nie geskuif het nie.

Uitgewerkte voorbeeld’n Toeris ruil R24 000 om in pond wanneer die koers R23,50 per pond is, spandeer £600, en ruil die res terug wanneer die koers na R22,80 geskuif het. Hoeveel kry sy terug?

1
24 000 ÷ 23,50 = £1 021,28
Rand na pond: deel deur die koers.
2
£1 021,28 − £600 = £421,28 oor
3
421,28 × 22,80 = R9 605,18
Pond terug na rand: vermenigvuldig met die nuwe koers.
4
Sy ontvang ongeveer R9 605.
Die rand het versterk, dus is elke pond minder werd op pad terug — sy verloor op die skommeling.

💡

Lees eers wat EEN eenheid van die genoteerde geldeenheid kos. Wanneer die koers gegee word as rand per een eenheid — R23,50 per £1, R18,75 per $1 — deel jy die randbedrag deur die koers om die buitelandse geldeenheid te kry, en vermenigvuldig jy om terug te kom. ’n Koers wat andersom gegee word (eenhede per R1) keer albei bewerkings om, dus kontroleer altyd die bewoording voordat jy ’n knoppie druk.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
R15 000 word teen 8% p.j. jaarliks saamgestel belê. Bereken die waarde na 5 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
15 000(1,08)⁵ = R22 039,92
2
R15 000 word teen 8% p.j. maandeliks saamgestel belê. Bereken die waarde na 5 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
15 000(1 + 0,08/12)⁶⁰ = R22 347,69
3
’n Yskas het ’n kontantprys van R9 200. Op huurkoop word ’n deposito van 20% betaal en die balans word oor 2 jaar teen 14% p.j. enkelvoudige rente terugbetaal. Bereken die TOTALE bedrag wat betaal word. (hersiening van huurkoop)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Deposito = 0,20 × 9 200 = R1 840; lening = R7 360; A = 7 360(1 + 0,14 × 2) = 7 360 × 1,28 = R9 420,80; totaal = 1 840 + 9 420,80 = R11 260,80
4
Hoeveel MEER as sy kontantprys kos daardie yskas op huurkoop? (hersiening van huurkoop)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
11 260,80 − 9 200 = R2 060,80 — wat presies die rente is, 7 360 × 0,28
5
’n Motor van R240 000 se waarde verminder teen 15% p.j. op ’n reguitlyn. Bereken sy waarde na 4 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
240 000(1 − 0,6) = R96 000
6
’n Motor van R240 000 se waarde verminder teen 15% p.j. op ’n verminderende saldo. Bereken sy waarde na 4 jaar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
240 000(0,85)⁴ = R125 281,50
7
Skakel 8% p.j. maandeliks saamgestel om na ’n effektiewe jaarlikse koers.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(1 + 0,08/12)¹² − 1 = 8,30%
8
’n Brood kos R18. As inflasie 6% p.j. is, wat sal dit oor 8 jaar kos?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
18(1,06)⁸ = R28,69
9
R50 000 groei in 6 jaar tot R80 000 teen saamgestelde rente, jaarliks saamgestel. Bereken die jaarlikse rentekoers.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
80 000 = 50 000(1 + i)⁶ → (1 + i)⁶ = 1,6
1 + i = 1,6^1/6 = 1,0815
i = 0,0815 → 8,15% p.j.
10
Stel die verskil tussen ’n nominale en ’n effektiewe rentekoers.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die nominale koers is die geadverteerde jaarlikse koers voor saamstelling; die effektiewe koers is die ware jaarlikse koers sodra saamstelling binne die jaar ingesluit is.
11
Die koers skuif van R18,20 na R19,60 per dollar. Het die rand versterk of verswak, en wat gebeur met die prys van ingevoerde goedere?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Verswak ✓ (meer rand is per dollar nodig); ingevoerde goedere word duurder ✓
12
’n Kamera kos $340. Bereken sy koste in rand teen R18,75 per dollar, en dan teen R20,10 per dollar.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
340 × 18,75 = R6 375 ✓; 340 × 20,10 = R6 834 ✓; ’n toename van R459 ✓
13
Verduidelik waarom die petrolprys in Suid-Afrika kan styg selfs wanneer die internasionale olieprys nie verander het nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Olie word in dollar geprys ✓; as die rand verswak, is meer rand nodig om dieselfde dollarbedrag olie te koop ✓, dus styg die pompprys sonder dat die olieprys skuif ✓