Meetkunde van 3D-voorwerpe — Graad 9 Wiskunde (KABV)

Hoe om 3D-voorwerpe volgens hulle vlakke, hoekpunte en rande te klassifiseer, die vyf Platoniese liggame, Euler se formule, die eienskappe van die sfeer en die silinder, en hoe nette tot liggame vou — met getekende figure, uitgewerkte voorbeelde en ’n vasvra.

Ook bekend as: Euler se formule · nette van liggame · veelvlakke · Platoniese liggame

Elke soliede voorwerp kan met drie tellings beskryf word: hoeveel plat oppervlakke dit het, hoeveel hoeke, en hoeveel lyne waar oppervlakke ontmoet. Om hierdie woordeskat presies reg te kry, is die hele afdeling.

1Vlakke, hoekpunte en rande

’n Vlak is ’n plat (of geboë) oppervlak van die liggaam.
’n Hoekpunt is ’n hoek — ’n punt waar rande ontmoet. (Meervoud: hoekpunte.)
’n Rand is ’n lyn waar twee oppervlakke ontmoet. By ’n liggaam met plat vlakke is elke rand reguit; ’n silinder het twee geboë (sirkelvormige) rande.

Uitgewerkte voorbeeldTel die vlakke, hoekpunte en rande van ’n kubus

1
Vlakke: 6 vierkante — bo, onder en vier sye.
Tel teenoorstaande pare: 2 + 2 + 2.
2
Hoekpunte: 8 hoeke.
4 op die boonste vierkant, 4 op die onderste.
3
Rande: 12.
4 rondom die bokant, 4 rondom die onderkant, 4 vertikaal.

2’n Telkontrole: Euler se formule (verryking)

Vir elke veelvlak sonder gate — elke prisma, piramide en Platoniese liggaam wat jy in Graad 9 teëkom — is daar ’n merkwaardige verband tussen die drie tellings. Dit is nie in die Graad 9-ATP nie, maar dit is ’n vinnige manier om jou telling te kontroleer:

F + V − E = 2

Uitgewerkte voorbeeldKontroleer Euler se formule vir ’n kubus

1
F = 6, V = 8, E = 12.
Uit die tellings hierbo.
2
6 + 8 − 12 = 2 ✓
Die formule geld — ’n vinnige manier om jou telling te kontroleer.

💡

As jou drie tellings nie aan F + V − E = 2 voldoen nie, het jy verkeerd getel. Gebruik dit om jouself te kontroleer voordat jy die antwoord neerskryf.

3Die vyf Platoniese liggame

’n Platoniese liggaam het vlakke wat almal identiese reëlmatige veelhoeke is, met dieselfde aantal vlakke wat by elke hoekpunt ontmoet. Merkwaardig genoeg is daar net vyf van hulle.

Tetrahedron

F 4 · V 4 · E 6

Cube

F 6 · V 8 · E 12

Octahedron

F 8 · V 6 · E 12

Dodecahedron

F 12 · V 20 · E 30

Icosahedron

F 20 · V 12 · E 30

Die vyf Platoniese liggame, geteken uit hulle ware 3D-koördinate. Elkeen voldoen aan F + V − E = 2.

Tetraëder — 4 driehoekige vlakke, 4 hoekpunte, 6 rande
Kubus (heksaëder) — 6 vierkantige vlakke, 8 hoekpunte, 12 rande
Oktaëder — 8 driehoekige vlakke, 6 hoekpunte, 12 rande
Dodekaëder — 12 vyfhoekige vlakke, 20 hoekpunte, 30 rande
Ikosaëder — 20 driehoekige vlakke, 12 hoekpunte, 30 rande

💡

Elkeen van die vyf voldoen aan Euler se formule. Kontroleer die ikosaëder: 20 + 12 − 30 = 2 ✓

4Die sfeer en die silinder

’n Sfeer: elke punt op die oppervlak is op dieselfde afstand (die radius) van die middelpunt.

’n Sfeer het een geboë oppervlak, geen rande en geen hoekpunte nie. Elke punt op die oppervlak is op dieselfde afstand van die middelpunt.
’n Silinder het twee plat sirkelvormige vlakke plus een geboë oppervlak, 2 geboë rande en geen hoekpunte nie.

⚠️

Euler se formule F + V − E = 2 geld vir veelvlakke (liggame met net plat vlakke) wat geen gate deur hulle het nie. Moenie probeer om dit op ’n sfeer of ’n silinder te gebruik nie.

5Nette

’n Net is die plat vorm wat jy kry as jy ’n liggaam ooprou. As jy die net weer opvou, bou dit die liggaam weer op, dus moet ’n net presies een stuk vir elke vlak bevat.

Een net van ’n kubus. ’n Kubus het 6 vlakke, dus het elke net van ’n kubus presies 6 vierkante.

Uitgewerkte voorbeeldWatter liggaam vorm ’n net van 2 sirkels en 1 reghoek?

1
Die twee sirkels word die plat bo- en onderkant.
Sirkelvormige vlakke.
2
Die reghoek draai rondom om die geboë oppervlak te vorm.
Sy lengte is gelyk aan die omtrek van die sirkel.
3
Die liggaam is ’n silinder.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Hoeveel vlakke, hoekpunte en rande het ’n kubus?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
6 vlakke, 8 hoekpunte, 12 rande
2
Skryf Euler se formule neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
F + V − E = 2
3
’n Liggaam het 5 vlakke en 6 hoekpunte. Hoeveel rande?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5 + 6 − E = 2 → E = 9
4
Hoeveel Platoniese liggame is daar?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Vyf
5
Hoeveel vlakke het ’n oktaëder, en watter vorm het hulle?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
8 driehoekige vlakke
6
Kontroleer Euler se formule vir ’n tetraëder (4 vlakke, 4 hoekpunte, 6 rande).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
F + V − E = 4 + 4 − 6 ✓ = 2, dus geld Euler se formule ✓
7
Hoeveel rande en hoekpunte het ’n sfeer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Geen — ’n sfeer het net een geboë oppervlak.
8
Hoeveel vierkante is in die net van ’n kubus?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
6, een vir elke vlak
9
’n Net het 2 sirkels en 1 reghoek. Watter liggaam is dit?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Silinder