Gegroepeerde data, persentiele en modale interval — Graad 10

Die gemiddeld van gegroepeerde data met middelpunte skat, die modale interval en die interval wat die mediaan bevat identifiseer, en persentiele en die semi-interkwartielomvang bepaal.

Wanneer data in intervalle gegroepeer is, ken jy nie meer die individuele waardes nie, dus kan die gemiddeld net geskat word.

1Die geskatte gemiddeld

geskatte gemiddeld = (∑(middelpunt × frekwensie))/(∑ frekwensie)

middelpunt = (onder + bo)/2

Interval	f	middelpunt	f × middel
0 ≤ x < 10	4	5	20
10 ≤ x < 20	9	15	135
20 ≤ x < 30	14	25	350
30 ≤ x < 40	8	35	280
40 ≤ x < 50	5	45	225
Totaal	40		1 010

Uitgewerkte voorbeeldSkat die gemiddeld van die gegroepeerde data hierbo

1
Bereken elke middelpunt: (0 + 10)/2 = 5, dan 15, 25, 35, 45.
Aanvaar dat elke waarde in ’n interval by sy middelpunt lê.
2
Vermenigvuldig elke middelpunt met sy frekwensie en tel op: 20 + 135 + 350 + 280 + 225 = 1 010.
3
Geskatte gemiddeld = (1 010)/40.
Deel deur die totale frekwensie.
4
= 25,25.

⚠️

Moenie deur die aantal intervalle (5) deel nie. Deel deur die totale frekwensie (40).

2Modale interval en die mediaaninterval

Modale interval — die interval met die hoogste frekwensie. Hier 20 ≤ x < 30 (frekwensie 14).
Mediaaninterval — die interval wat die n/2de waarde bevat. Hier die 20ste waarde, wat in 20 ≤ x < 30 val.

💡

Jy kan nie ’n presiese modus of mediaan vir gegroepeerde data gee nie — net die interval waarin dit lê. As jy ’n enkele getal in plaas van ’n interval skryf, verloor jy die punt.

3Persentiele en kwartiele

posisie van die pde persentiel = p/100 × n

Q₁ = 25ste persentiel · mediaan = 50ste · Q₃ = 75ste

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die posisie van die 25ste persentiel vir n = 40

1
25/100 × 40 = 10.
2
Dus is Q₁ by die 10de waarde.
Lees dit van ’n ogief of ’n kolom met kumulatiewe frekwensies af.

4Semi-interkwartielomvang

IKO = Q₃ − Q₁ · semi-IKO = (Q₃ − Q₁)/2

Uitgewerkte voorbeeldQ₁ = 24 en Q₃ = 42. Bereken die IKO en die semi-IKO.

1
IKO = 42 − 24 = 18.
2
Semi-IKO = 18/2 = 9.
Eenvoudig die helfte van die IKO.

5Histogramme

Sodra data in intervalle gegroepeer is, is die natuurlike prentjie ’n histogram: een staaf per interval, met die frekwensie as sy hoogte.

’n Histogram van 40 toetspunte. Die stawe raak aan mekaar omdat die intervalle kontinu is — daar is geen gaping tussen 20–40 en 40–60 nie.

6Histogram of staafgrafiek?

’n Histogram toon kontinue gegroepeerde data — punte, lengtes, tye. Die stawe raak aan mekaar, omdat een interval presies eindig waar die volgende begin.
’n Staafgrafiek toon kategoriese data — gunstelingsport, huistaal. Die stawe het gapings, omdat daar niks tussen die kategorieë is nie.
Die horisontale as van ’n histogram is ’n getallelyn; op ’n staafgrafiek is dit ’n lys byskrifte, en die stawe kan in enige volgorde geplaas word.

Om ’n histogram te lees, is dieselfde as om ’n frekwensietabel te lees: die hoogste staaf merk die modale interval, en as jy die hoogtes bymekaartel, kry jy die totale aantal waardes.

Uitgewerkte voorbeeldGebruik die histogram hierbo: hoeveel leerders het geskryf, en in watter interval lê die mediaan?

1
Totaal = 4 + 9 + 14 + 8 + 5 = 40 leerders
Tel die frekwensies op — die hoogtes van al vyf stawe.
2
Die mediaan is die gemiddeld van die 20ste en 21ste waardes.
n = 40 is ewe, dus lê die mediaan tussen twee waardes.
3
Kumulatief: 4, dan 13, dan 27.
Lopende totale om te vind in watter interval die 20ste waarde val.
4
Die 20ste en 21ste waardes val albei in 40–60, dus lê die mediaan in die interval 40 ≤ x < 60.

⚠️

Om gapings tussen die stawe van ’n histogram te laat. Die gapings is die visuele teken dat data kategories is — as jy hulle op kontinue data teken, sê dit die verkeerde ding, en vraestelle ken ’n punt toe vir stawe wat aan mekaar raak.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die middelpunt van die interval 20 ≤ x < 30 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(20 + 30)/2 = 25
2
Gebruik die tabel (f = 4, 9, 14, 8, 5 vir intervalle met breedte 10 vanaf 0) en skat die gemiddeld.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(1 010)/40 = 25,25
3
Skryf die modale interval vir daardie data neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
20 ≤ x < 30 (hoogste frekwensie, 14)
4
In watter interval lê die mediaan vir daardie data?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die 20ste waarde → 20 ≤ x < 30
5
Bepaal die posisie van die 25ste persentiel wanneer n = 40.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
25/100 × 40 = die 10de waarde
6
Q₁ = 24 en Q₃ = 42. Bereken die interkwartielomvang.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
42 − 24 = 18
7
Q₁ = 24 en Q₃ = 42. Bereken die semi-interkwartielomvang.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
18/2 = 9
8
Waarom kan die gemiddeld van gegroepeerde data net geskat word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Omdat die individuele waardes onbekend is — ons aanvaar dat elkeen by die middelpunt van sy interval lê.
9
Noem TWEE verskille tussen ’n histogram en ’n staafgrafiek.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Histogram toon kontinue gegroepeerde data en ’n staafgrafiek toon kategoriese data ✓; die stawe van ’n histogram raak aan mekaar, terwyl dié van ’n staafgrafiek gapings het ✓
10
Die stawe van ’n histogram het frekwensies 6, 10, 14, 9 en 5. Hoeveel waardes is in die datastel, en watter een is die modale interval?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
6 + 10 + 14 + 9 + 5 = 44 waardes ✓; die modale interval is die een met frekwensie 14 ✓
11
Verduidelik waarom die stawe van ’n histogram aan mekaar moet raak.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die intervalle is kontinu ✓ — een interval eindig presies waar die volgende begin, dus is daar geen waarde wat in ’n gaping kan val nie ✓