Hiperbool en eksponensiële grafieke — Graad 11 (KABV)

y = a/(x + p) + q en y = a·b^{x + p} + q — die asimptote bepaal, afsnitte vind, skets, en die definisieversameling en waardeversameling gee.

1Die hiperbool

y = a/(x + p) + q

Vertikale asimptoot: x = −p
Horisontale asimptoot: y = q

’n Asimptoot is ’n lyn waaraan die grafiek al hoe nader kom soos x (of y) ver uitstrek. Die hiperboolgrafieke en eksponensiële grafieke in hierdie les sny nooit hulle s’n nie — sommige ander grafieke wel, dus is die toets dat die kromme die lyn NADER, nie dat dit dit nooit kan ontmoet nie. Teken dit as ’n stippellyn — punte word daarvoor gegee.

y = 4/(x − 1) + 2, met asimptote x = 1 en y = 2 as stippellyne getoon.

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 4/(x − 1) + 2

1
Hier is p = −1 en q = 2.
Vergelyk met a/(x + p) + q.
2
Asimptote: x = 1 en y = 2.
x = −p = 1.
3
y-afsnit: x = 0 → y = 4/−1 + 2 = −2.
4
x-afsnit: y = 0 → 4/(x − 1) = −2 → 4 = −2(x − 1).
5
−2 = x − 1, dus x = −1.
Kontroleer op die skets: die kromme sny wel by (−1 ; 0). ✓

Definisieversameling: x ≠ −p · Waardeversameling: y ≠ q

⚠️

Die definisieversameling van ’n hiperbool soos y = 2/(x − 1) + 3 is x ∈ ℝ, x ≠ 1 — jy moet die vertikale asimptoot uitsluit, omdat deling deur nul ongedefinieerd is.

2Die simmetrie-asse van ’n hiperbool

’n Hiperbool y = a/(x + p) + q het TWEE simmetrie-asse. Albei gaan deur die punt waar die asimptote sny, (−p ; q), een met gradiënt 1 en een met gradiënt −1:

y = (x + p) + q en y = −(x + p) + q

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die simmetrie-asse van y = 2/(x − 1) + 3

1
Die asimptote is x = 1 en y = 3, dus sny hulle by (1 ; 3).
p = −1 en q = 3.
2
Gradiënt 1 deur (1 ; 3): y = x + c, en 3 = 1 + c gee c = 2, dus y = x + 2.
Vervang die snypunt.
3
Gradiënt −1 deur (1 ; 3): y = −x + c, en 3 = −1 + c gee c = 4, dus y = −x + 4.
Die twee asse is loodreg op mekaar: 1 × (−1) = −1.

3Die eksponensiële grafiek

y = a·b^{x + p} + q (b > 0, b ≠ 1, a ≠ 0)

Horisontale asimptoot: y = q

y = 2^x − 1, met die horisontale asimptoot y = −1.

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 2^x − 1

1
q = −1, dus is die asimptoot y = −1.
Die hele grafiek is 1 af geskuif.
2
y-afsnit: x = 0 → y = 2⁰ − 1 = 0.
Dit gaan deur die oorsprong.
3
x-afsnit: 2^x = 1 → x = 0.
Hier dieselfde punt.
4
Waardeversameling: y > −1.
2^x is altyd positief, dus is y altyd bo die asimptoot.

💡

Watter kant toe gaan dit? Lees b EN die teken van a.
Vir a > 0: b > 1 styg · 0 < b < 1 daal.
Vir a < 0 word die kromme in sy asimptoot gereflekteer, dus doen dit die teenoorgestelde: b > 1 daal · 0 < b < 1 styg.
Hoe ook al, die grafiek sny nooit sy horisontale asimptoot nie, en dit lê BO dit wanneer a > 0, ONDER dit wanneer a < 0.

4Die derde parameter: p skuif die grafiek sywaarts

Graad 10 het jou a en q gegee. Graad 11 voeg p by, en p is die een wat mense laat struikel omdat dit agterstevoor werk.

y = a · b^{x + p} + q skuif die basiese grafiek p eenhede LINKS wanneer p positief is

y = 2^{x + 3} is y = 2^x 3 links geskuif — nie 3 regs nie.
y = 2^{x − 3} is y = 2^x 3 regs geskuif.
Die horisontale asimptoot skuif nie: dit is steeds y = q, omdat p die grafiek net sywaarts skuif.

Uitgewerkte voorbeeldVir y = 3 · 2^{x + 1} − 4, skryf die asimptoot, die y-afsnit en die effek van p neer.

1
Asimptoot: y = −4
q gee die horisontale asimptoot; p het geen effek daarop nie.
2
p = +1, dus word die grafiek van y = 3 · 2^x − 4 1 eenheid LINKS geskuif.
’n Positiewe p skuif die grafiek in die negatiewe x-rigting.
3
y-afsnit: laat x = 0 → y = 3 · 2¹ − 4 = 6 − 4 = 2
Vervang x = 0 in die volle vergelyking.
4
Die kromme gaan dus deur (0 ; 2) en plat links af na y = −4.

⚠️

Om y = 2^{x + 3} te lees as ’n skuif van 3 na regs omdat die teken positief is. Dink na oor watter x dieselfde uitset as voorheen gee: om 2⁰ te kry, het jy nou x = −3 nodig, dus het elke punt na links geskuif.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die asimptote van y = 4/(x − 1) + 2 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 1 en y = 2
2
Bepaal die y-afsnit van y = 4/(x − 1) + 2.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4/−1 + 2 = −2
3
Bepaal die x-afsnit van y = 4/(x − 1) + 2.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 = −2(x − 1) → x = −1
4
Skryf die definisieversameling en waardeversameling van y = 4/(x − 1) + 2 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Definisieversameling x ∈ ℝ, x ≠ 1; waardeversameling y ∈ ℝ, y ≠ 2
5
Skryf die vergelyking van die asimptoot van y = 2^x − 1 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = −1
6
Bepaal die y-afsnit van y = 2^x − 1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2⁰ − 1 = 0
7
Skryf die waardeversameling van y = 2^x − 1 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y > −1
8
Beskryf die transformasie van y = 2^x na y = 2^x − 1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Translasie van 1 eenheid afwaarts
9
Vir y = 2^{x − 3} + 1, skryf die vergelyking van die asimptoot neer en beskryf die transformasie vanaf y = 2^x.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Asimptoot y = 1 ✓; die grafiek is 3 eenhede REGS ✓ en 1 eenheid OP geskuif ✓
10
Bepaal die y-afsnit van y = 4 · 3^{x + 1} − 5.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 0: y = 4 × 3¹ − 5 ✓ = 12 − 5 ✓ = 7 ✓
11
Verduidelik waarom die waarde van p NIE die horisontale asimptoot van ’n eksponensiële grafiek verander nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
p is ’n horisontale skuif ✓; die asimptoot is ’n horisontale lyn waarvan die hoogte slegs deur q bepaal word, dus laat die sywaartse skuif van die grafiek dit by y = q ✓