Lineêre ongelykhede en intervalnotasie — Graad 10 (KABV)

Los lineêre ongelykhede op en skryf die antwoord in intervalnotasie. Dek getallelyne, saamgestelde ongelykhede en die reël wat almal vang: as jy deur ’n negatiewe getal deel, draai die teken om.

Ook bekend as: ongelykhede oplos · ongelykhede op ’n getallelyn · intervalnotasie

’n Ongelykheid word byna presies soos ’n vergelyking opgelos — met een ekstra reël. In Graad 10 moet jy die antwoord ook op drie maniere aanbied: in simbole, op ’n getallelyn en in intervalnotasie.

Die antwoord op ’n vergelyking is gewoonlik een getal. Die antwoord op ’n ongelykheid is ’n hele interval: ’n stuk van die getallelyn, soos elke getal groter as 2. Intervalnotasie is ’n kort manier om daardie stuk te skryf met sy twee eindpunte en ’n hakie aan elke kant wat sê of die eindpunt by die antwoord hoort.

1Die reël wat almal vang

As jy albei kante met ’n negatiewe getal vermenigvuldig of daardeur deel, keer die ongelykheidsteken om.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: −3x > 12

1
Deel albei kante deur −3.
Om x alleen te kry.
2
Die teken draai om: x < −4.
Deling deur ’n negatiewe getal draai > om na <.
3
Kontroleer met x = −5: −3(−5) = 15 > 12 ✓
Toets altyd een waarde uit jou antwoord.

⚠️

Om te vergeet om die teken om te draai, is die heel algemeenste fout in hierdie onderwerp. As jou laaste stap deur ’n negatiewe getal deel of daarmee vermenigvuldig, draai die teken om.

2Die antwoord op ’n getallelyn toon

’n Oop sirkeltjie beteken die waarde is nie ingesluit nie (< of >). ’n Soliede kolletjie beteken dit is ingesluit (≤ of ≥).

x ≥ 2 — soliede kolletjie omdat 2 ingesluit is, na regs ingekleur.

x < 1 — oop sirkeltjie omdat 1 uitgesluit is, na links ingekleur.

3Intervalnotasie

[ ] vierkantige hakie → die eindpunt is ingesluit (≤, ≥)
( ) ronde hakie → die eindpunt is nie ingesluit nie (<, >)
∞ kry altyd ’n ronde hakie.

x ≥ 2 → [2 ; ∞)
x < 1 → (−∞ ; 1)
−1 ≤ x < 3 → [−1 ; 3)

⚠️

Oneindigheid word nooit “bereik” nie, dus kan dit nooit ’n vierkantige hakie kry nie. Om [2 ; ∞] te skryf, is altyd verkeerd.

💡

Lees ’n interval terug as ’n ongelykheid om dit te kontroleer: (−2 ; 5] beteken −2 < x ≤ 5. Die linkerkantste getal kom altyd eerste, dus is (5 ; −2] nooit korrek nie.

4Veranderlikes aan albei kante

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 5x − 7 ≤ 2x + 8, en skryf die antwoord in intervalnotasie

1
Trek 2x van albei kante af: 3x − 7 ≤ 8.
Versamel die x-terme aan die kant met die groter koëffisiënt, sodat die koëffisiënt positief bly.
2
Tel 7 by albei kante: 3x ≤ 15.
3
Deel deur 3: x ≤ 5.
3 is positief, dus bly die teken.
4
Intervalnotasie: (−∞ ; 5].
Vierkantig by 5 omdat 5 ingesluit is.

5Hakies en ’n negatiewe koëffisiënt

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 3 − 2(x + 1) < 7

1
Brei uit: 3 − 2x − 2 < 7, dus 1 − 2x < 7.
Die −2 vermenigvuldig albei terme in die hakie.
2
Trek 1 af: −2x < 6.
3
Deel deur −2 en draai die teken om: x > −3.
As jy deur ’n negatiewe getal deel, word < omgekeer na >.
4
Intervalnotasie: (−3 ; ∞).
Rond by −3 omdat −3 self nie ’n oplossing is nie.

6’n Ongelykheid met ’n breuk

Uitgewerkte voorbeeldLos op: (x − 1)/3 ≥ 2

1
Vermenigvuldig albei kante met 3: x − 1 ≥ 6.
3 is positief, dus bly die teken.
2
Tel 1 by: x ≥ 7.
3
Intervalnotasie: [7 ; ∞).

7Saamgestelde ongelykhede

−1 ≤ x < 3 — soliede kolletjie by −1 (ingesluit), oop sirkeltjie by 3 (uitgesluit), tussenin ingekleur.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: −4 < 2x − 2 ≤ 6

1
Tel 2 by al drie dele: −2 < 2x ≤ 8.
Wat jy ook al doen, doen dit aan elke deel.
2
Deel al drie deur 2: −1 < x ≤ 4.
2 is positief, dus draai geen teken om nie.
3
Intervalnotasie: (−1 ; 4].
Rond by −1 (uitgesluit), vierkantig by 4 (ingesluit).

Uitgewerkte voorbeeldLos op: −3 ≤ 1 − 2x < 7

1
Trek 1 van al drie dele af: −4 ≤ −2x < 6.
2
Deel al drie deur −2 en draai ALBEI tekens om: 2 ≥ x > −3.
Elke teken word omgekeer as jy deur ’n negatiewe getal deel.
3
Herskryf met die kleiner getal eerste: −3 < x ≤ 2.
Dieselfde bewering, van links na regs gelees.
4
Intervalnotasie: (−3 ; 2].

8As 𝑥 ’n heelgetal moet wees

Eksamenvrae voeg dikwels ’n voorwaarde by soos x ∈ ℤ (x is ’n heelgetal). Dan is die antwoord nie ’n interval nie, maar ’n lys van die heelgetalle daarbinne.

Uitgewerkte voorbeeldAs −1 < x ≤ 4 en x ∈ ℤ, lys die waardes van x

1
−1 is uitgesluit, dus begin by 0; 4 is ingesluit.
Lees die twee tekens voordat jy iets lys.
2
x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.
Vyf heelgetalle, in versamelinghakies geskryf.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los op: 2x + 3 < 11
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x < 8 → x < 4, i.e. (−∞ ; 4)
2
Los op: 5x − 4 ≥ 16
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5x ≥ 20 → x ≥ 4, i.e. [4 ; ∞)
3
Los op: −2x > 10
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x < −5 (die teken draai om), d.w.s. (−∞ ; −5)
4
Los op: −3x + 1 ≤ 7
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−3x ≤ 6 → x ≥ −2, i.e. [−2 ; ∞)
5
Skryf x > 5 in intervalnotasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(5 ; ∞)
6
Skryf −2 ≤ x ≤ 7 in intervalnotasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
[−2 ; 7]
7
Skryf (−∞ ; 3] as ’n ongelykheid.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x ≤ 3
8
Los op: −4 < 2x − 2 ≤ 6
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−1 < x ≤ 4 → (−1 ; 4]
9
Wat beteken ’n OOP sirkeltjie op ’n getallelyn?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die waarde is nie ingesluit nie (< of >).