’n Tweeterm met ’n drieterm vermenigvuldig — Graad 10 (KABV)

Produkte soos (2x + 3)(x² − x + 4) betroubaar uitbrei met ’n rooster, en dan gelyksoortige terme versamel — plus die derdemag-identiteite wat daaruit volg.

Graad 9 het twee tweeterme vermenigvuldig, wat vier produkte gee. Graad 10 voeg ’n derde term by die tweede hakie — nou is daar ses, en die gewone fout is net om een te verloor.

Die reël: vermenigvuldig elke term in die eerste hakie met elke term in die tweede hakie, en versamel dan gelyksoortige terme. ’n Tweeterm het 2 terme en ’n drieterm het 3, dus is daar altyd 2 × 3 = 6 produkte voordat jy versamel. Tel hulle: as jy net vyf het, ontbreek een.

1Gebruik ’n rooster sodat niks wegraak nie

Elke ryterm vermenigvuldig met elke kolomterm. Ses selle, en versamel dan gelyksoortige terme.

Uitgewerkte voorbeeldBrei uit: (2x + 3)(x² − x + 4)

1
2x × x² = 2x³; 2x × (−x) = −2x²; 2x × 4 = 8x.
Die eerste term van die hakie oor die hele tweede hakie.
2
3 × x² = 3x²; 3 × (−x) = −3x; 3 × 4 = 12.
Dan die tweede term.
3
Versamel: 2x³ + (−2 + 3)x² + (8 − 3)x + 12.
Groepeer gelyke magte.
4
= 2x³ + x² + 5x + 12.

⚠️

Tekens reis saam met hulle term. In (2x − 3)(x² + x − 5) is die tweede ry −3 maal elke term, dus −3 × (−5) = +15.

2Metode 2: een term op ’n slag

Sodra die rooster natuurlik voel, kan jy dit oorslaan: vermenigvuldig die hele drieterm met die eerste term van die tweeterm, dan met die tweede term, en skryf die twee rye onder mekaar.

Uitgewerkte voorbeeldBrei uit: (x − 4)(2x² + 3x − 1)

1
x(2x² + 3x − 1) = 2x³ + 3x² − x.
Die eerste term oor die drieterm.
2
−4(2x² + 3x − 1) = −8x² − 12x + 4.
Die −4 dra sy teken na elke produk oor.
3
Versamel: 2x³ + (3 − 8)x² + (−1 − 12)x + 4.
Gelyksoortige magte saam.
4
= 2x³ − 5x² − 13x + 4.

⚠️

x × x² = x³ (tel die eksponente bymekaar), nie x² nie en ook nie 2x² nie. Met koëffisiënte vermenigvuldig jy die getalle en tel die eksponente bymekaar: 2x × 3x² = 6x³.

3Hakies met twee veranderlikes

Uitgewerkte voorbeeldBrei uit: (a − 2b)(a² + 3ab − b²)

1
a³ + 3a²b − ab²
a maal elke term.
2
−2a²b − 6ab² + 2b³
−2b maal elke term.
3
= a³ + a²b − 7ab² + 2b³.
a²b en ab² is verskillende terme: versamel net terme met dieselfde letters tot dieselfde magte.

4Kontroleer jou antwoord met ’n getal

💡

Vervang ’n klein waarde, soos x = 2, in die vraag en in jou antwoord. Vir (2x + 3)(x² − x + 4): 7 × 6 = 42. Vir 2x³ + x² + 5x + 12: 16 + 4 + 10 + 12 = 42. Hulle stem ooreen, dus is die uitbreiding byna seker reg; as hulle verskil, soek die fout. Vermy x = 0 en x = 1, wat foute in die magte wegsteek.

5Eksamenstyl: brei uit en vereenvoudig

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (x − 1)(x² + x + 1) − (x + 2)(x − 3)

1
(x − 1)(x² + x + 1) = x³ + x² + x − x² − x − 1 = x³ − 1.
Die middelste terme kanselleer.
2
(x + 2)(x − 3) = x² − x − 6.
’n Gewone produk van tweeterme.
3
x³ − 1 − (x² − x − 6) = x³ − 1 − x² + x + 6.
Hou die tweede produk tussen hakies totdat die minus elke teken verander het.
4
= x³ − x² + x + 5.

6Bepaal een koëffisiënt sonder om alles uit te brei

Meerkeuse- en kort vrae vra dikwels net vir een term van die antwoord. Jy het nie al ses produkte nodig nie: kies net die pare waarvan die magte optel tot die mag wat jy soek, en ignoreer die res.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die koëffisiënt van x in (3x − 2)(x² + 4x − 5)

1
3x × (−5) = −15x.
’n x uit die eerste hakie maal ’n konstante uit die tweede.
2
−2 × 4x = −8x.
’n Konstante uit die eerste hakie maal ’n x uit die tweede.
3
−15x − 8x = −23x, dus is die koëffisiënt −23.
Geen ander paar terme gee ’n mag van 1 nie.

7Waar die derdemag-identiteite vandaan kom

Uitgewerkte voorbeeldBrei uit: (x + 2)(x² − 2x + 4)

1
x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8.
Ses produkte soos gewoonlik.
2
Die middelste terme kanselleer in pare: −2x² + 2x² = 0 en 4x − 4x = 0.
Dit is nie ’n toeval nie.
3
= x³ + 8.
’n Som van twee derdemagte — dit is die identiteit wat jy volgende agteruit sal faktoriseer.

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³
(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

Hierdie twee identiteite is waarom hierdie les verder strek as uitbrei. Agteruit gelees is dit hoe jy later in Graad 10 ’n som of ’n verskil van twee derdemagte faktoriseer: x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4), presies die produk wat hierbo uitgebrei is.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Brei uit: (x + 1)(x² + 2x + 3)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x³ + 3x² + 5x + 3
2
Brei uit: (x + 3)(x² − x + 2)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x³ + 2x² − x + 6
3
Brei uit: (2x + 1)(x² + 3x − 2)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x³ + 7x² − x − 2
4
Brei uit: (x − 2)(x² + 2x + 4)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x³ − 8 (verskil van twee derdemagte)
5
Brei uit: (x + 5)(x² − 5x + 25)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x³ + 125
6
Brei uit: (3x − 1)(x² − x + 2)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3x³ − 4x² + 7x − 2
7
Hoeveel produkte is daar voor versameling by ’n tweeterm × drieterm?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ses (2 × 3)