π
∞
∑
∫
θ
E = mc²
y = mx+b
√
Δ
φ
∇
λ
Tuis›Lesse›Graad 11
Graad 11 · Funksies en grafieke · 12 min. leestyd

Die parabool: y = a(x + p)² + q (Graad 11)

Die draaipuntvorm van die parabool, wat a, p en q elk aan die grafiek doen, die bepaling van afsnitte en die simmetrie-as, en die neerskryf van die definisieversameling en waardeversameling.

1Draaipuntvorm

y = a(x + p)² + q

Draaipunt: (−p ; q)
Simmetrie-as: x = −p
⚠️

Die draaipunt is (−p ; q), nie (p ; q) nie. In y = 2(x + 2)² − 8 is p = 2, dus is die draaipunt by x = −2.

2Wat elke parameter doen

  • a — a > 0 maak na bo oop (minimum); a < 0 maak na onder oop (maksimum). ’n Groter |a| maak dit smaller.
  • p — skuif links of regs. ’n Positiewe p skuif links.
  • q — skuif op of af, en is die y-waarde van die draaipunt.
xyy = 2(x + 2)² − 8TP (−2 ; −8)(−4 ; 0)(0 ; 0)−6−5−4−3−2−1123−10−8−6−4−224
y = 2(x + 2)² − 8, met die draaipunt en albei x-afsnitte getoon.

3Die afsnitte bepaal

Uitgewerkte voorbeeldSkets y = 2(x + 2)² − 8
xyy = 2(x + 2)² − 8TP (−2 ; −8)(−4 ; 0)(0 ; 0)−6−5−4−3−2−1123−10−8−6−4−224
  1. 1
    a = 2 > 0, dus maak dit na bo oop.
    Eers die vorm.
  2. 2
    Draaipunt: (−2 ; −8).
    (−p ; q).
  3. 3
    y-afsnit: laat x = 0 → y = 2(2)² − 8 = 0.
    Dit gaan dus deur die oorsprong.
  4. 4
    x-afsnitte: laat y = 0 → 2(x + 2)² = 8 → (x + 2)² = 4.
  5. 5
    x + 2 = ±2, dus x = 0 of x = −4.
    Moenie die ± vergeet nie — dit gee die tweede afsnit.

4Definisieversameling en waardeversameling

Definisieversameling: x ∈ ℝ (altyd)
Waardeversameling: y ≥ q as a > 0  ·  y ≤ q as a < 0

Vir y = 2(x + 2)² − 8 is die waardeversameling y ≥ −8, omdat die grafiek vanaf sy laagste punt na bo oopmaak.

💡

Vrae oor die waardeversameling gaan oor die draaipunt en niks anders nie. Vra: maak dit na bo of na onder oop, en wat is q?

5Omskakeling vanaf die standaardvorm

Uitgewerkte voorbeeldSkryf y = x² − 6x + 5 in draaipuntvorm
xy1355−4O(3 ; −4)x = 3
  1. 1
    Halveer die koëffisiënt van x: −6 ÷ 2 = −3, en kwadreer dit dan: 9.
    Vierkantsvoltooiing.
  2. 2
    y = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
    Tel 9 by en trek 9 af — die waarde bly onveranderd.
  3. 3
    y = (x − 3)² − 4.
  4. 4
    Draaipunt (3 ; −4).
    Hier is p = −3, dus −p = 3.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart✅ Memo📝 Eksamenvraestel🗝️ Nasienriglyn
  1. 1
    Skryf die draaipunt van y = 2(x + 2)² − 8 neer.
    Wys antwoord ▾
    (−2 ; −8)
  2. 2
    Bepaal die x-afsnitte van y = 2(x + 2)² − 8.
    Wys antwoord ▾
    (x + 2)² = 4 → x + 2 = ±2 → x = 0 of x = −4
  3. 3
    Bepaal die y-afsnit van y = 2(x + 2)² − 8.
    Wys antwoord ▾
    x = 0 → y = 8 − 8 = 0
  4. 4
    Skryf die vergelyking van die simmetrie-as van y = 2(x + 2)² − 8 neer.
    Wys antwoord ▾
    x = −2
  5. 5
    Skryf die waardeversameling van y = 2(x + 2)² − 8 neer.
    Wys antwoord ▾
    y ≥ −8
  6. 6
    Skryf die definisieversameling van y = 2(x + 2)² − 8 neer.
    Wys antwoord ▾
    x ∈ ℝ
  7. 7
    Skryf y = x² − 6x + 5 in die vorm y = a(x + p)² + q.
    Wys antwoord ▾
    y = (x − 3)² − 4
  8. 8
    Vir watter waardes van x is y = 2(x + 2)² − 8 stygend?
    xyy = 2(x + 2)² − 8TP (−2 ; −8)(−4 ; 0)(0 ; 0)−6−5−4−3−2−1123−10−8−6−4−224
    Wys antwoord ▾
    Regs van die draaipunt: x > −2
🧠

Vinnige vasvra

5 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.

Oefen dit nou

Laai Graad 11-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).

Na Graad 11-vraestelle →

Meer lesse

📐
Graad 11 · Analitiese meetkunde
Analitiese meetkunde: lyne en inklinasie (Graad 11)
📈
Graad 11 · Funksies en grafieke
Gemiddelde gradiënt op ’n kromme (Graad 11)
⭕
Graad 11 · Euklidiese meetkunde
Sirkelmeetkunde-ruiters: bewyse, omgekeerdes en metode (Graad 11)
⭕
Graad 11 · Euklidiese meetkunde
Sirkelmeetkunde: die stellings, met voorbeelde