Waarskynlikheid — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Steekproefruimtes, komplementêre en onderling uitsluitende gebeurtenisse, die optelreël, en hoe om ’n Venn-diagram met twee versamelings te lees om waarskynlikheidsvrae te beantwoord.

Ook bekend as: Venn-diagramme · optelreël · onderling uitsluitende gebeurtenisse

Waarskynlikheid in Graad 10 beweeg van enkele gebeurtenisse na kombinasies van gebeurtenisse — en ’n Venn-diagram is byna altyd die vinnigste ingang.

1Die basiese begrippe

Wanneer elke uitkoms ewe waarskynlik is: P(E) = (aantal gunstige uitkomste)/(totale aantal uitkomste) · altyd: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Die steekproefruimte (S) is elke moontlike uitkoms.
Komplementêre gebeurtenisse: P(nie A) = 1 − P(A). Hulle moet optel tot 1.
Onderling uitsluitende gebeurtenisse kan nie saam gebeur nie, dus P(A en B) = 0.

2Die optelreël

P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B)

Jy trek die oorvleueling af omdat enigiets in albei versamelings anders twee keer getel sou word. As die gebeurtenisse onderling uitsluitend is, is die oorvleueling 0, dus word die reël korter: P(A) + P(B).

3’n Venn-diagram lees

35 leerders. 20 neem A, 18 neem B, 8 neem albei, en 5 neem nie een nie.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal uit die diagram P(A en B), P(A of B) en P(nie een nie)

1
Die oorvleueling bevat 8 leerders, dus P(A en B) = 8/35.
Lees die middelste gebied direk af.
2
A of B = 12 + 8 + 10 = 30, dus P(A of B) = 30/35 = 6/7.
Tel al drie gebiede binne die sirkels bymekaar.
3
Kontroleer met die reël: 20/35 + 18/35 − 8/35 = 30/35 ✓
Die optelreël gee dieselfde antwoord.
4
Nie een nie = 5, dus P(nie een nie) = 5/35 = 1/7.
Dit is die gebied buite albei sirkels.

⚠️

Wanneer ’n vraag sê 20 leerders neem A, sluit dit dié in wat ook B neem. Die gebied net-A is 20 − 8 = 12 — vul eers die oorvleueling in, en werk dan na buite.

💡

Kontroleer altyd dat al die gebiede optel tot n(S). Hier is 12 + 8 + 10 + 5 = 35 ✓ — as dit nie klop nie, is ’n gebied verkeerd.

4Relatiewe frekwensie teenoor teoretiese waarskynlikheid

Daar is twee maniere om ’n getal aan ’n waarskynlikheid te koppel, en die ATP vra jou om hulle te vergelyk.

Wanneer elke uitkoms ewe waarskynlik is: teoretiese P(A) = (aantal gunstige uitkomste)/(totale aantal uitkomste) relatiewe frekwensie = (aantal kere wat A gebeur het)/(aantal proefnemings)

Teoretiese waarskynlikheid word uit die situasie self bereken, voordat iets gedoen word. ’n Regverdige dobbelsteen het ses ewe waarskynlike vlakke, dus P(4) = 1/6 — geen dobbelstene hoef gerol te word nie.
Relatiewe frekwensie (ook eksperimentele waarskynlikheid genoem) kom daarvan om dit werklik te doen en te tel. Rol ’n dobbelsteen 60 keer, kry twaalf 4s, en die relatiewe frekwensie is 12/60 = 1/5.

Hulle stem selde presies ooreen, en dit word verwag. Die kernidee is dat soos die aantal proefnemings groot word, die relatiewe frekwensie geneig is om naby die teoretiese waarskynlikheid te kom lê — nie ná elke enkele proefneming nader nie, omdat toeval dit aanhou rondstoot, maar oor die geheel nader. Twaalf 4’s in 60 rolle is niks besonders nie; 12 000 in 60 000 sou sê die dobbelsteen is gelaai.

Uitgewerkte voorbeeld’n Duimspyker word 200 keer laat val en land 130 keer met die punt na bo. Bepaal die relatiewe frekwensie, en verduidelik waarom die waarskynlikheid nie gevind kan word deur ewe waarskynlike uitkomste te tel nie.

1
Relatiewe frekwensie = 130/200 = 0,65
Aantal kere wat dit gebeur het oor die aantal proefnemings.
2
Dit is nie bekend dat die twee uitkomste ewe waarskynlik is nie — ’n duimspyker is nie simmetries nie, dus hoef punt-na-bo en punt-na-onder nie dieselfde kans te hê nie.
Die reël gunstig-oor-totaal werk net vir ewe waarskynlike uitkomste.
3
Dus kan daardie reël nie hierdie waarskynlikheid gee nie, en sonder enige ander inligting skat ons dit deur ’n eksperiment: P(punt na bo) ≈ 0,65.
Dit is presies wanneer relatiewe frekwensie die gereedskap is om te gebruik.

💡

Gebruik die vergelyking as ’n toets vir regverdigheid. As ’n muntstuk 500 keer gegooi word en 251 keer kop land, lê die relatiewe frekwensie 0,502 reg op die teoretiese 0,5 — goeie bewys dat die muntstuk regverdig is. ’n Relatiewe frekwensie ver van die teoretiese waarde, oor baie proefnemings, is bewys dat iets bevooroordeeld is.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
’n Regverdige dobbelsteen word gerol. Bepaal P(’n 4 gooi).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/6
2
Bepaal P(’n ewe getal gooi) met ’n regverdige dobbelsteen.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3/6 = 1/2
3
As P(A) = 0,3, bepaal P(nie A).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1 − 0,3 = 0,7
4
Skryf die optelreël neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B)
5
As A en B onderling uitsluitend is, wat is P(A en B)?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0
6
Bepaal P(A en B) uit die Venn-diagram.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
8/35
7
Bepaal P(A of B) uit die Venn-diagram.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
30/35 = 6/7
8
Bepaal P(nie A en nie B nie) uit die Venn-diagram.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5/35 = 1/7
9
n(A) = 20 en 8 is in albei. Hoeveel neem NET A?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
20 − 8 = 12
10
’n Dobbelsteen word 90 keer gerol en ’n 5 kom 12 keer op. Bereken die relatiewe frekwensie om ’n 5 te gooi.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
12/90 ✓ = 2/15 ≈ 0,13 ✓
11
Skryf vir dieselfde dobbelsteen die teoretiese waarskynlikheid neer om ’n 5 te gooi, en lewer kommentaar op die verskil.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/6 ≈ 0,17 ✓; die relatiewe frekwensie 0,13 is ’n bietjie laer, wat normale variasie oor net 90 rolle is ✓
12
Wat gebeur gewoonlik met die relatiewe frekwensie soos die aantal proefnemings baie groot word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit is geneig om naby die teoretiese waarskynlikheid te kom lê ✓ — al hoef dit nie ná elke enkele proefneming nader te kom nie, omdat toevallige variasie bly ✓
13
Gee EEN voorbeeld van ’n situasie waar die waarskynlikheid NIE gevind kan word deur ewe waarskynlike uitkomste te tel nie, en sê waarom.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Duimspyker of ’n bottelprop laat val ✓ — die uitkomste is nie ewe waarskynlik nie, dus is daar geen gelyke uitkomste om te tel nie; die waarskynlikheid word eerder uit ’n eksperiment geskat (relatiewe frekwensie) ✓