Waarskynlikheid — Graad 11 en 12 Wiskunde (KABV)

Die optelreël, onderling uitsluitende en komplementêre gebeurtenisse, die lees en invul van Venn-diagramme, en die toets of twee gebeurtenisse onafhanklik is.

1Die reëls wat jy moet ken

P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B)

Onderling uitsluitend: P(A en B) = 0
Komplementêr: P(A) + P(nie A) = 1
Onafhanklik: P(A en B) = P(A) × P(B)

💡

Jy trek P(A en B) in die optelreël af omdat die oorvleueling twee keer getel word — een keer in P(A) en een keer in P(B).

2’n Venn-diagram lees

40 leerders. 15 neem slegs A, 8 neem albei, 12 neem slegs B, en 5 neem nie een nie.

Uitgewerkte voorbeeldBereken uit die diagram P(A), P(A en B) en P(A of B)

1
Totaal = 15 + 8 + 12 + 5 = 40.
Tel elke gebied by — ook dié buite die sirkels.
2
n(A) = 15 + 8 = 23, dus P(A) = 23/40 = 0,575 ≈ 0,58.
A sluit die oorvleueling in. 23 ÷ 40 is 0,575 — tot twee desimale rond dit OP af na 0,58.
3
P(A en B) = 8/40 = 0,20.
Slegs die oorvleueling.
4
P(A of B) = 35/40 = 0,875 ≈ 0,88.
15 + 8 + 12 = 35, alles binne die sirkels.

⚠️

Die getal wat binne die oorvleueling geskryf is, is slegs die ‘albei’-groep. n(A) is die oorvleueling plus die gebied van slegs A — hier 23, nie 15 nie.

3Die optelreël kontroleer

Uitgewerkte voorbeeldVerifieer P(A of B) met die reël

1
P(A) = 23/40, P(B) = 20/40, P(A en B) = 8/40.
n(B) = 8 + 12 = 20.
2
P(A of B) = 23/40 + 20/40 − 8/40 = 35/40.
Trek die oorvleueling af. Bly in veertigstes: as jy elke waarskynlikheid eers afrond, gee 0,58 + 0,50 − 0,20 = 0,88 net by toeval die regte antwoord, en 0,57 + 0,50 − 0,20 = 0,87 verloor die punt.
3
= 0,875 ≈ 0,88 ✓
Stem ooreen met die telling uit die diagram. Rond EEN keer af, aan die einde.

4Onderling uitsluitend teenoor komplementêr

Onderling uitsluitend — hulle kan nie albei gebeur nie. Die sirkels oorvleuel nie. P(A en B) = 0.
Komplementêr — onderling uitsluitend en hulle dek alles. P(A) + P(B) = 1.

Elke paar komplementêre gebeurtenisse is onderling uitsluitend, maar nie andersom nie: om ’n 1 te gooi en om ’n 2 te gooi is onderling uitsluitend, maar hulle tel nie op tot 1 nie.

5Toets vir onafhanklikheid

Uitgewerkte voorbeeldP(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A en B) = 0,2. Is A en B onafhanklik?

1
P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.
Werk eers die produk uit.
2
P(A en B) = 0,2.
Vergelyk met die gegewe waarde.
3
Hulle is gelyk, dus ja, A en B is onafhanklik.
Gee die gevolgtrekking in woorde — dit is waar die punt lê.

⚠️

‘Onafhanklik’ en ‘onderling uitsluitend’ is nie dieselfde ding nie. Trouens, as twee gebeurtenisse met ’n waarskynlikheid wat nie nul is nie onderling uitsluitend is, kan hulle nie onafhanklik wees nie.

6Relatiewe frekwensie en die teoretiese waarskynlikheid

Graad 10 het die vergelyking bekendgestel; Graad 11 gebruik dit as bewys. Teoretiese waarskynlikheid word uit die situasie bereken; relatiewe frekwensie word uit ’n eksperiment getel.

relatiewe frekwensie = (aantal kere wat die gebeurtenis plaasgevind het)/(aantal proewe)

Die twee kom gewoonlik naby aan mekaar te lê soos die aantal proewe toeneem — en dit is wat relatiewe frekwensie nuttig maak as ’n toets. ’n Dobbelsteen wat 600 keer gegooi word en 180 keer ’n ses gee, het ’n relatiewe frekwensie van 0,3 teenoor ’n teoretiese 0,167. Oor soveel proewe is daardie gaping bewys dat die dobbelsteen bevooroordeeld is.

7Venn-diagramme met drie gebeurtenisse

Die nuwe werk in Graad 11 is ’n derde gebeurtenis. Drie oorvleuelende sirkels skep agt gebiede, en die enigste betroubare metode is om hulle van die middel na buite in te vul.

Uitgewerkte voorbeeldIn ’n groep van 60 leerders: 30 neem Wiskunde, 25 neem Natuurwetenskap, 22 neem Geografie; 12 neem Wiskunde en Natuurwetenskap, 9 neem Wiskunde en Geografie, 8 neem Natuurwetenskap en Geografie, en 5 neem al drie. Hoeveel neem nie een nie?

1
Begin in die middel: al drie = 5.
Vul altyd eers die binneste gebied in — elke ander gebied hang daarvan af.
2
Slegs Wiskunde en Natuurwetenskap = 12 − 5 = 7
Die 12 sluit die 5 in die middel in.
3
Slegs Wiskunde en Geografie = 9 − 5 = 4; slegs Natuurwetenskap en Geografie = 8 − 5 = 3
Dieselfde aftrekking vir elke paar.
4
Slegs Wiskunde = 30 − 7 − 4 − 5 = 14
Trek die drie oorvleuelende gebiede van die totaal vir Wiskunde af.
5
Slegs Natuurwetenskap = 25 − 7 − 3 − 5 = 10; slegs Geografie = 22 − 4 − 3 − 5 = 10
6
Totaal in ten minste een = 14 + 10 + 10 + 7 + 4 + 3 + 5 = 53
Tel al sewe gebiede bymekaar.
7
Nie een nie = 60 − 53 = 7
Die buitenste gebied.

⚠️

Om 12 in die oorvleueling van Wiskunde en Natuurwetenskap te skryf. Daardie 12 is die totaal vir Wiskunde en Natuurwetenskap, en 5 van hulle neem ook Geografie — dus hoort slegs 7 in die gebied van twee sirkels. Om van buite na binne in te vul, veroorsaak hierdie fout; begin altyd in die middel.

💡

Kontroleer jou diagram deur elke gebied bymekaar te tel, die buitenste een ingesluit. As dit nie gelyk is aan die totaal in die vraag nie, is iets dubbel getel.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
In die Venn-diagram hieronder is ’n opname onder 40 leerders gedoen. Bepaal n(A).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
15 + 8 = 23
2
Gebruik die Venn-diagram hieronder en bereken P(A en B).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
8/40 = 0,20
3
Gebruik die Venn-diagram hieronder en bereken P(A of B).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(15 + 8 + 12)/40 = 35/40 = 0,88
4
Gebruik die Venn-diagram hieronder en bereken die waarskynlikheid dat ’n leerder nóg A nóg B neem.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5/40 = 0,13
5
P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 en P(A en B) = 0,2. Is A en B onafhanklik? Toon jou bewerkings.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2 = P(A en B), dus ja, hulle is onafhanklik.
6
P(A) = 0,3, P(B) = 0,45 en A en B is onderling uitsluitend. Bereken P(A of B).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0,3 + 0,45 − 0 = 0,75
7
As P(A) = 0,62, bereken P(nie A).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1 − 0,62 = 0,38
8
Verduidelik die verskil tussen onderling uitsluitende en komplementêre gebeurtenisse.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Onderling uitsluitende gebeurtenisse kan nie saam gebeur nie, dus P(A en B) = 0. Komplementêre gebeurtenisse is onderling uitsluitend EN dek die hele steekproefruimte, dus P(A) + P(B) = 1.
9
’n Muntstuk word 400 keer opgegooi en land 214 keer op kop. Bereken die relatiewe frekwensie van kop en lewer kommentaar oor of die muntstuk regverdig lyk.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
214 ÷ 400 = 0,535 ✓; naby aan die teoretiese 0,5 oor ’n groot aantal proewe, dus lyk die muntstuk regverdig ✓
10
In ’n klas van 40: 22 speel sokker, 18 speel netbal, 15 speel tennis; 9 speel sokker en netbal, 7 speel sokker en tennis, 6 speel netbal en tennis, en 4 speel al drie. Hoeveel speel nie een van die drie nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Middel 4 ✓; slegs pare: 5, 3, 2 ✓; enkels: sokker 22 − 5 − 3 − 4 = 10, netbal 18 − 5 − 2 − 4 = 7, tennis 15 − 3 − 2 − 4 = 6 ✓; totaal in ten minste een = 10 + 7 + 6 + 5 + 3 + 2 + 4 = 37, dus nie een nie = 40 − 37 = 3 ✓
11
Verduidelik waarom jy ’n Venn-diagram met drie gebeurtenisse van die MIDDEL na buite moet invul.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Elke totaal vir ’n paar sluit reeds die leerders in wat al drie neem ✓; deur van die middel af in te vul, kan jy daardie oorvleueling aftrek sodat niemand twee keer getel word nie ✓