Reële getalle, wortelvorme en afronding — Graad 10 (KABV)

Rasionale teenoor irrasionale getalle, bepaal tussen watter twee heelgetalle ’n wortelvorm lê, en afronding tot ’n gegewe aantal desimale plekke of beduidende syfers — die openingsvaardighede van die Graad 10-sillabus.

Graad 10 begin deur skerper te maak wat ’n getal is. Jy moet enige getal kan klassifiseer, ’n wortelvorm sonder ’n sakrekenaar tussen twee heelgetalle kan plaas, en sinvol kan afrond — al drie word in Kwartaal 1 geëksamineer.

1Die getallestelsel

Elke getal wat jy in Graad 10 teëkom, lê iewers in hierdie familie. Elke versameling bevat die een voor dit.

Natuurlike getalle ℕ: 1 ; 2 ; 3 ; … (die getalle waarmee ons tel).
Telgetalle ℕ₀: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … (die natuurlike getalle en 0).
Heelgetalle ℤ: … ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; … (telgetalle en hulle negatiewe).
Rasionale getalle ℚ: enigiets wat geskryf kan word as a/b met a en b heelgetalle en b ≠ 0 — insluitend elke heelgetal, elke eindigende desimale getal en elke repeterende desimale getal.
Irrasionale getalle ℚ′: reële getalle wat nie as so ’n breuk geskryf kan word nie, soos π en √2.
Reële getalle ℝ: die rasionale en die irrasionale getalle saam — elke getal op die getallelyn.

’n Vierkantswortel van ’n NEGATIEWE getal is niereëel: daar is geen reële getal waarvan die kwadraat negatief is nie, dus is √−9 nie ’n reële getal nie. (Die derdemagswortel van ’n negatiewe getal IS reëel: ∛−8 = −2.)

2Rasionaal of irrasionaal?

Rasionaal: kan geskryf word as a/b met a, b heelgetalle, b ≠ 0.
Irrasionaal: kan nie — sy desimale voorstelling eindig nooit en herhaal nooit nie.

Rasionaal: 7, −3, 2/5, 0,25 (eindigend), 0,333… (repeterend), √49 = 7 (presiese wortel).
Irrasionaal: π, √2, √20, ∛10 — wortels wat nie presies uitwerk nie.

⚠️

’n Wortel is nie outomaties irrasionaal nie. Werk dit eers uit: √64 = 8 is rasionaal, maar √65 is irrasionaal.

3Tussen watter twee heelgetalle lê ’n wortelvorm?

Dit is ’n standaard-eksamenvraag en geen sakrekenaar word toegelaat nie. Die truuk is om die volkome vierkante aan weerskante te vind.

√20 lê tussen 4 en 5 omdat 20 tussen die volkome vierkante 16 en 25 lê.

Uitgewerkte voorbeeldTussen watter twee heelgetalle lê √20?

1
Vind die volkome vierkante net onder en bo 20: 16 en 25.
16 = 4² en 25 = 5².
2
Dus 16 < 20 < 25.
3
Neem wortels: 4 < √20 < 5.
Vierkantswortels behou die volgorde, dus is die antwoord tussen 4 en 5.

Uitgewerkte voorbeeldTussen watter twee heelgetalle lê √54?

1
7² = 49 en 8² = 64.
49 < 54 < 64.
2
Dus 7 < √54 < 8.

💡

Leer jou kwadrate tot by 15² = 225. Byna elke vraag oor wortelvorme in Graad 10 lê binne daardie omvang.

4Afronding

Kyk na die syfer onmiddellik ná die plek waartoe jy afrond.
As dit 5 of meer is, rond op. As dit 4 of minder is, laat die syfer soos dit is.

Uitgewerkte voorbeeldRond 3,14159 af tot 2 desimale plekke

1
Die 2de desimaal is 4; die volgende syfer is 1.
1 is kleiner as 5.
2
3,14159 ≈ 3,14.
Die 4 bly soos dit is.

Uitgewerkte voorbeeldRond 7,3962 af tot 2 desimale plekke

1
Die 2de desimaal is 9; die volgende syfer is 6.
6 is 5 of meer, dus rond op.
2
9 rond op tot 10, dus dra dit oor: 7,3962 ≈ 7,40.
Hou die nul aan die einde — dit toon die akkuraatheid wat gevra is.

⚠️

Moenie in fases afrond nie. As jy 2,3449 in een stap tot 2 desimale plekke afrond, kry jy 2,34, maar as jy eers tot 2,345 en dan tot 2,35 afrond, kry jy ’n ander antwoord — rond altyd een keer af, vanaf die volle waarde.

5Beduidende syfers

Soms word die akkuraatheid in beduidende syfers gevra in plaas van desimale plekke. Die telling begin by die eerste syfer wat nie nul is nie en gaan dan deur elke syfer, nulle ingesluit.

Voorste nulle is nooit beduidend nie: by 0,004936 begin die telling by die 4.
Nulle tussen syfers tel altyd: 50,7 het drie beduidende syfers.
Rond die laaste syfer wat jy hou op die gewone manier af, en gebruik nulle om die plekwaardes te behou.

Uitgewerkte voorbeeldRond 0,004936 af tot DRIE beduidende syfers

1
Die telling begin by die 4: die drie syfers is 4, 9 en 3.
Die nulle voor plaas net die getal — hulle is nie beduidend nie.
2
Die volgende syfer is 6, dus rond die 3 op tot 4.
6 is 5 of meer.
3
0,004936 ≈ 0,00494.
Die voorste nulle bly, dus is die waarde se grootte onveranderd.

Uitgewerkte voorbeeldRond 52 718 af tot DRIE beduidende syfers

1
Die drie syfers is 5, 2 en 7.
Die telling begin by die eerste syfer, 5.
2
Die volgende syfer is 1, dus bly die 7.
1 is kleiner as 5.
3
52 718 ≈ 52 700.
Die twee nulle hou die tiene- en eenheidsplekke — hulle is nie beduidende syfers nie.

💡

Lees die opdrag noukeurig: twee desimale plekke tel plekke ná die komma, twee beduidende syfers tel syfers vanaf die eerste een wat nie nul is nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Is √81 rasionaal of irrasionaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Rasionaal — √81 = presies 9.
2
Is √30 rasionaal of irrasionaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Irrasionaal — 30 is nie ’n volkome vierkant nie.
3
Tussen watter twee heelgetalle lê √20?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
16 < 20 < 25 → 4 en 5
4
Tussen watter twee heelgetalle lê √54?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
49 < 54 < 64 → 7 en 8
5
Tussen watter twee heelgetalle lê √110?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
100 < 110 < 121 → 10 en 11
6
Rond 3,14159 af tot 3 desimale plekke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3,142
7
Rond 7,3962 af tot 2 desimale plekke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
7,40
8
Rond 0,04567 af tot 3 desimale plekke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0,046
9
Is 0,272727… rasionaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ja — dit herhaal, dus kan dit as ’n breuk geskryf word.