Die parabool y = ax² + q skets — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die Graad 10-parabool y = ax² + q: wat a en q doen, die draaipunt (0 ; q), die afsnitte, definisieversameling en waardeversameling, en hoe om a en q uit ’n grafiek te bepaal — elkeen volledig uitgewerk, met ’n diagram en ’n werkblad, plus ’n kort voorskou van Graad 11 oor y = ax² + bx + c.

Ook bekend as: kwadratiese grafieke · parabool · draaipunt · draaipuntvorm

In Graad 10 het die parabool die vorm y = ax² + q. Sy grafiek is ’n simmetriese U-vorm, en sy draaipunt lê altyd op die y-as. Om dit te skets, kom in byna elke Vraestel 1 voor en beloon ’n vaste roetine: vind die kenmerke, stip hulle, en verbind hulle met ’n gladde kromme. (Die algemene vorm y = ax² + bx + c, waar die draaipunt sywaarts skuif, is Graad 11-werk — daar is ’n kort voorskou aan die einde.)

Die Graad 10-parabool y = ax² + q: hier y = x² − 4. Die draaipunt lê OP die y-as, wat ook die simmetrie-as is.

1Wat a en q doen

a bepaal die vorm: a > 0 maak OOP NA BO (’n minimum draaipunt); a < 0 maak OOP NA ONDER (’n maksimum). Hoe groter |a|, hoe smaller die parabool.
q skuif die hele grafiek op (q > 0) of af (q < 0). Die draaipunt is altyd (0 ; q).
Die simmetrie-as is altyd die y-as: x = 0.

2Die vier dinge om te vind

Vorm — uit die teken van a.
Draaipunt — (0 ; q). Dit is ook die y-afsnit.
x-afsnitte — stel y = 0 en los ax² + q = 0 op. Daar is twee, een (wanneer q = 0, lê die draaipunt op die as) of geen.
Definisieversameling en waardeversameling — definisieversameling x ∈ ℝ; waardeversameling y ≥ q wanneer a > 0, en y ≤ q wanneer a < 0.

3Soort 1: Parabool wat oopmaak na bo (a > 0)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: bepaal die kenmerke van y = x² − 4 en teken dit

1
Vorm: a = 1 > 0, dus maak dit oop na bo (’n minimum).
Positiewe koëffisiënt van x².
2
Draaipunt en y-afsnit: (0 ; −4).
q = −4.
3
x-afsnitte: x² − 4 = 0, dus x² = 4 en x = −2 of x = 2.
Of faktoriseer: (x − 2)(x + 2) = 0.
4
Definisieversameling x ∈ ℝ; waardeversameling y ≥ −4.
Die laagste punt is die draaipunt.
5
Stip (−2 ; 0), (2 ; 0) en (0 ; −4), en verbind hulle met ’n gladde U wat simmetries om die y-as is.

4Soort 2: Parabool wat oopmaak na onder (a < 0)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: bepaal die kenmerke van y = −2x² + 8

1
Vorm: a = −2 < 0, dus maak dit oop na onder (’n maksimum).
Negatiewe koëffisiënt van x².
2
Draaipunt en y-afsnit: (0 ; 8).
q = 8.
3
x-afsnitte: −2x² + 8 = 0, dus x² = 4 en x = ±2.
Deel eers elke term deur −2.
4
Waardeversameling: y ≤ 8.
Die hoogste punt is die draaipunt.

5Soort 3: Geen x-afsnitte nie

Wanneer a en q dieselfde teken het, bereik die parabool nooit die x-as nie: ax² + q = 0 sou vereis dat x² negatief is.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: bepaal die kenmerke van y = x² + 3

1
Vorm: maak oop na bo. Draaipunt (0 ; 3).
2
x-afsnitte: x² + 3 = 0 gee x² = −3, wat geen reële oplossing het nie — dus is daar geen nie.
’n Kwadraat is nooit negatief nie.
3
Waardeversameling: y ≥ 3. Die grafiek is ’n U met sy laagste punt by (0 ; 3), bo die x-as.

6Soort 4: a en q uit die grafiek bepaal

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: y = ax² + q het draaipunt (0 ; −5) en gaan deur (2 ; 3). Bepaal a en q.

1
q = −5.
Die draaipunt is (0 ; q).
2
Vervang (2 ; 3): 3 = a(2)² − 5, dus 4a = 8 en a = 2.
Enige punt op die grafiek pas in die vergelyking.
3
y = 2x² − 5

⚠️

Moenie die kolletjies met reguit lyne verbind nie. ’n Parabool is ’n gladde kromme. Vir y = ax² + q is die twee arms spieëlbeelde in die y-as — as joune nie is nie, kontroleer die afsnitte weer.

💡

Kontroleer voordat jy teken: die draaipunt van y = ax² + q is ALTYD (0 ; q), en die x-afsnitte, wanneer daar twee is, is altyd ’n paar ± dieselfde getal (wanneer q = 0, is die enigste een die oorsprong).

Paraboolsketse is van die betroubaarste punte in Vraestel 1. Werk die werkblad deur totdat die roetine outomaties is.

7Vooruitskouing: Graad 11 — y = ax² + bx + c

Nie in die Graad 10-ATP nie. In Graad 11 skuif ’n bx-term die draaipunt van die y-as af, na x = −b/2a, en die diskriminant sê vir jou hoeveel x-afsnitte daar is. Hierdie uitgewerkte voorbeelde is net ’n voorskou — niks hieronder is in die Graad 10-werkblad of -toets nie.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 11, 1: skets y = x² − 2x − 3

1
Vorm: a = 1 > 0 → maak oop na bo (minimum).
Positiewe koëffisiënt van x².
2
y-afsnit: c = −3 → (0 ; −3).
Stel x = 0.
3
x-afsnitte: (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 of x = −1.
Faktoriseer en stel elke hakie gelyk aan 0.
4
Simmetrie-as: x = (−(−2))/(2·1) = 1.
x = (−b)/2a.
5
Draaipunt: y = 1² − 2(1) − 3 = −4 → (1 ; −4).
Vervang x = 1 terug.
6
Stip (0 ; −3), (3 ; 0), (−1 ; 0), (1 ; −4) en verbind met ’n gladde U.
Vyf kenmerke bepaal die skets.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 11, 2: skets y = −x² + 2x + 3

1
Vorm: a = −1 < 0 → maak oop na onder (maksimum).
Negatiewe koëffisiënt van x².
2
y-afsnit: (0 ; 3).
c = 3.
3
x-afsnitte: −x² + 2x + 3 = 0 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3 of −1.
Vermenigvuldig eers met −1 om maklik te faktoriseer.
4
Simmetrie-as: x = (−2)/(2(−1)) = 1. Draaipunt: y = −1 + 2 + 3 = 4 → (1 ; 4).
Die maksimum punt.

Graad 11: as die kwadratiese uitdrukking nie faktoriseer nie en b² − 4ac < 0, raak die parabool nooit die x-as nie. Jy skets dit steeds met die draaipunt en y-afsnit.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 11, 3: skets y = x² + 2x + 5

1
Diskriminant: b² − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0 → geen x-afsnitte nie.
Die kromme sweef heeltemal bo die x-as (aangesien a > 0).
2
y-afsnit: (0 ; 5). Simmetrie-as: x = −2/2 = −1.
Gebruik die kenmerke wat jy kan vind.
3
Draaipunt: y = 1 − 2 + 5 = 4 → (−1 ; 4).
Die minimum, bo die x-as.
4
Skets ’n U met draaipunt (−1 ; 4) wat deur (0 ; 5) gaan en nooit die x-as sny nie.

Uitgewerkte voorbeeldVoorskou van Graad 11, 4: ’n parabool het x-afsnitte −1 en 3, en gaan deur (0 ; −3)

1
Gebruik die wortelvorm: y = a(x + 1)(x − 3).
Elke wortel gee ’n faktor.
2
Vervang die punt (0 ; −3): −3 = a(1)(−3) = −3a → a = 1.
Los op vir a met die bekende punt.
3
Vergelyking: y = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3.
Brei uit na standaardvorm.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die vorm en die draaipunt van y = 3x² − 5 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a = 3 > 0, dus maak dit OOP NA BO ✓; draaipunt (0 ; −5) ✓
2
Skryf die y-afsnit en die waardeversameling van y = x² + 2 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(0 ; 2) ✓; y ≥ 2 ✓
3
Bepaal die x-afsnitte van y = x² − 9.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² = 9 ✓, dus x = −3 of x = 3 ✓
4
Bepaal die x-afsnitte van y = 2x² − 8.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x² = 8 ✓; x² = 4 ✓; x = ±2 ✓
5
Sny y = x² + 5 die x-as? Gee ’n rede.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee ✓ — x² = −5 het geen reële oplossing nie ✓
6
Skryf die waardeversameling van y = −x² + 4 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
a < 0, dus is (0 ; 4) ’n maksimum ✓; y ≤ 4 ✓
7
y = ax² + q het draaipunt (0 ; 1) en gaan deur (2 ; 9). Bepaal a en q.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
q = 1 ✓; 9 = 4a + 1 ✓; a = 2 ✓
8
Beskryf hoe y = x² − 3 van y = x² verskil.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dieselfde vorm ✓, 3 eenhede af geskuif ✓
9
Beskryf hoe y = −x² van y = x² verskil.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit is in die x-as gereflekteer ✓, dus maak dit oop na onder ✓
10
Skryf die definisieversameling en die waardeversameling van y = 2x² − 6 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Definisieversameling x ∈ ℝ ✓; waardeversameling y ≥ −6 ✓