Wat ’n funksie werklik is — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die idee onder elke grafiek wat jy hierdie jaar sal skets — een inset, presies een uitset. Die vier maniere om ’n funksie voor te stel en hoe om tussen hulle te beweeg, funksienotasie f(x), definisieversameling en waardeversameling, die vertikalelyntoets, en hoe om ’n reël uit ’n tabel te bepaal.

Ook bekend as: funksienotasie · f(x) · definisieversameling en waardeversameling · vertikalelyntoets · inset uitset · verwantskappe tussen veranderlikes

Voordat jy ’n enkele parabool skets, het jy die idee daaronder nodig. ’n Funksie is ’n reël wat ’n inset neem en presies een uitset teruggee. Daardie woorde — presies een — is die hele definisie.

Sit 3 in die reël “verdubbel dit en tel een by” en jy kry 7. Nie soms 7 en soms 8 nie. Elke keer 7. ’n Reël wat twee verskillende antwoorde vir dieselfde inset kan gee, is ’n verwantskap, maar dit is nie ’n funksie nie.

Elke inset is aan presies een uitset gekoppel. Dit is wat dit ’n funksie maak.

1Vier maniere om dieselfde ding te sê

Dieselfde funksie kan op vier maniere geskryf word, en die ATP verwag dat jy in enige rigting tussen hulle kan beweeg.

In woorde: “vermenigvuldig die inset met 2, tel dan 1 by”
As ’n tabel: x: 1, 2, 3, 4 → y: 3, 5, 7, 9
As ’n formule: y = 2x + 1, of in funksienotasie f(x) = 2x + 1
As ’n grafiek: die reguit lyn deur (1 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 7) en (4 ; 9)

💡

’n Vraag gee jou een voorstelling en vra vir ’n ander. Woorde → formule, tabel → formule en formule → grafiek is die drie wat die meeste voorkom.

2Van ’n tabel na ’n formule

Dit is die een wat die moeite werd is om in te oefen. Kyk wat met y gebeur soos x met 1 toeneem.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die reël vir die tabel x: 1, 2, 3, 4 → y: 3, 5, 7, 9

1
Soos x met 1 toeneem, neem y elke keer met 2 toe.
’n Konstante verskil beteken die reël is lineêr: y = 2x + c.
2
Stel ’n bekende paar in, x = 1 en y = 3: 3 = 2(1) + c
Enige ry van die tabel sal werk.
3
c = 1
4
y = 2x + 1
5
Kontroleer met ’n ANDER ry: x = 4 gee 2(4) + 1 = 9 ✓
Toets altyd teen ’n ry wat jy nie gebruik het om die reël op te stel nie.

⚠️

Die konstante verskil vind en y = 2x skryf, maar die c vergeet. Die verskil gee jou slegs die koëffisiënt van x. Jy moet steeds ’n punt instel om te vind waar die reël begin.

3Funksienotasie: f(x)

Om f(x) = 2x + 1 in plaas van y = 2x + 1 te skryf, laat jou toe om die inset te benoem waarna jy vra.

f(3) beteken “die uitset wanneer die inset 3 is” = 2(3) + 1 = 7

⚠️

Om f(x) as f × x te lees. Die hakies is nie vermenigvuldiging nie — f is die naam van die reël en x is wat jy dit voer. f(3) is ’n enkele getal, die antwoord wat jy uit die reël kry.

Uitgewerkte voorbeeldAs f(x) = x² − 4x, bepaal f(5), f(−2), en die waarde van x waarvoor f(x) = 0.

1
f(5) = 5² − 4(5) = 25 − 20 = 5
Stel 5 in oral waar x voorkom.
2
f(−2) = (−2)² − 4(−2) = 4 + 8 = 12
Hou die hakies om ’n negatiewe inset — (−2)² is 4, nie −4 nie.
3
f(x) = 0 → x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0
Om terugwaarts te werk beteken om ’n vergelyking op te los.
4
x = 0 of x = 4
Twee insette mag ’n uitset deel — dit is toegelaat. Twee UITSETTE vir een inset is nie.

4Definisieversameling en waardeversameling

Die definisieversameling is die versameling waardes wat jy mag INSIT — al die x-waardes.
Die waardeversameling is die versameling waardes wat UITKOM — al die y-waardes.

Lees hulle van ’n grafiek af deur te projekteer: die definisieversameling is wat die grafiek van links na regs dek, die waardeversameling is wat dit van bo na onder dek. Vir ’n reguit lyn soos y = 2x + 1 is albei alle reële getalle; vir y = x² is die definisieversameling alle reële getalle, maar die waardeversameling is y ≥ 0, omdat kwadrering nooit ’n negatiewe getal gee nie.

💡

Twee insette mag ’n uitset deel — f(−3) en f(3) is albei 9 vir f(x) = x², en dit is ’n heeltemal geldige funksie. Die reël verbied slegs dat een inset twee uitsette het.

5Die vertikalelyntoets

Gegewe ’n grafiek, is daar ’n kontrole van een sekonde. Skuif ’n vertikale lyn oor die grafiek. As die lyn die grafiek ooit twee keer sny, het daardie x-waarde twee y-waardes — en dit is nie ’n funksie nie.

Die gestippelde vertikale lyn ontmoet hierdie kromme twee keer, dus het een inset twee uitsette. Dit druip die toets.

’n Nie-vertikale reguit lyn, ’n parabool en ’n eksponensiële grafiek slaag almal. ’n Sirkel druip, en so ook ’n parabool wat op sy sy lê.

6Waarheen dit lei

Alles anders in die onderwerp Funksies is hierdie idee met ’n spesifieke reël daaraan gekoppel: die reguit lyn, die parabool, die hiperbool en die eksponensiële grafiek. Wanneer ’n latere vraag vra vir die definisieversameling, die waardeversameling, of die waarde van y wanneer x = 3, vra dit die vrae op hierdie bladsy.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Verduidelik in jou eie woorde wat ’n verwantskap ’n FUNKSIE maak.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Elke inset het presies EEN uitset ✓; geen inset mag twee verskillende antwoorde gee nie ✓
2
Skryf die reël “vermenigvuldig met 3, trek dan 4 af” as ’n formule in funksienotasie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(x) = 3x − 4 ✓✓
3
Bepaal die reël vir die tabel x: 1, 2, 3, 4 → y: 5, 8, 11, 14.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Konstante verskil van 3, dus y = 3x + c ✓; 5 = 3(1) + c dus c = 2 ✓; y = 3x + 2 ✓
4
As f(x) = 4x − 7, bepaal f(3).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(3) = 4(3) − 7 ✓ = 5 ✓
5
As f(x) = x² + 2x, bepaal f(−3).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(−3)² + 2(−3) = 9 − 6 ✓ = 3 ✓
6
As f(x) = 5x + 1, bepaal die waarde van x waarvoor f(x) = 26.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5x + 1 = 26 ✓; x = 5 ✓
7
Skryf die definisieversameling en die waardeversameling van f(x) = x² neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Definisieversameling: x ∈ ℝ (alle reële getalle) ✓; Waardeversameling: y ≥ 0 ✓
8
Verduidelik waarom f(x) = x² steeds ’n funksie is, al is f(−4) en f(4) albei 16.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Twee verskillende insette mag dieselfde uitset gee ✓; die reël word slegs gebreek as EEN inset twee verskillende uitsette gee ✓
9
Stel die vertikalelyntoets en sê wat dit vir jou vertel.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Skuif ’n vertikale lyn oor die grafiek ✓; as dit die grafiek ooit meer as een keer sny, is die grafiek nie ’n funksie nie, omdat daardie x-waarde meer as een y-waarde het ✓
10
’n Taxi vra R12 om in te klim plus R7 per kilometer. Skryf ’n formule vir die koste C van ’n rit van k kilometer, en bereken die koste van ’n rit van 15 km.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
C = 7k + 12 ✓✓; C = 7(15) + 12 = R117 ✓