Die reële getallestelsel — Graad 9 Wiskunde (KABV)

Getalle benoem en sorteer — natuurlike getalle, telgetalle, heelgetalle, rasionale en irrasionale getalle — hoe elke versameling binne die volgende een lê, en hoe om ’n rasionale getal van ’n irrasionale een te onderskei.

Ook bekend as: rasionale en irrasionale getalle · getalversamelings · klassifikasie van reële getalle

Graad 9 vra jou om iets nuuts te doen: om getalle nie net te gebruik nie, maar om hulle te klassifiseer. Eksamens vra “is √16 rasionaal of irrasionaal?” en jy het ’n betroubare manier nodig om te antwoord.

1Die vyf versamelings, binne mekaar

Elke versameling bevat die een binne-in hom. Die irrasionale getalle lê binne die reële getalle, maar buite die rasionale getalle.

Natuurlike getalle (ℕ) — die getalle waarmee ons tel: 1, 2, 3, 4, …
Telgetalle (ℕ₀) — die natuurlike getalle plus nul: 0, 1, 2, 3, …
Heelgetalle (ℤ) — telgetalle en hulle negatiewe: … −2, −1, 0, 1, 2, …
Rasionale getalle (ℚ) — enigiets wat as ’n breuk van twee heelgetalle geskryf kan word.
Irrasionale getalle — dié wat nie so geskryf kan word nie, soos π en √2.

2Die toets vir ’n rasionale getal

’n Getal is rasionaal as dit geskryf kan word as a/b, waar a en b heelgetalle is en b ≠ 0.

Daardie definisie is wyer as wat die meeste leerders verwag. Elkeen van hierdie is rasionaal:

Telgetalle — 7 is 7/1.
Eindigende desimale getalle — 0,25 is 1/4.
Repeterende desimale getalle — 0,333… is 1/3.
Presiese wortels — √16 = 4, dus is dit rasionaal.

⚠️

’n Wortel is nie outomaties irrasionaal nie. √16 = 4 is rasionaal; √15 is irrasionaal. Bereken eers die wortel, en besluit dan.

3’n Irrasionale getal raaksien

’n Irrasionale getal se desimale voorstelling gaan vir altyd aan sonder om te herhaal. Die twee wat jy in Graad 9 teëkom, is π en wortels wat nie presies uitwerk nie.

Uitgewerkte voorbeeldKlassifiseer: 5, −3, ⅔, √25, √7, π, 0

1
5 — natuurlike getal, telgetal, heelgetal en rasionaal.
’n Getal waarmee ons tel, behoort aan elke versameling daarbo.
2
−3 — heelgetal en rasionaal (nie ’n natuurlike getal of telgetal nie).
Negatiewe getalle word uit ℕ en ℕ₀ uitgesluit.
3
⅔ — net rasionaal.
Reeds ’n breuk van twee heelgetalle.
4
√25 = 5 — natuurlike getal, telgetal, heelgetal, rasionaal.
Die wortel is presies.
5
√7 en π — irrasionaal.
Hulle desimale voorstellings eindig of herhaal nooit nie.
6
0 — telgetal, heelgetal en rasionaal (nie ’n natuurlike getal nie).
Nul is die een wat ℕ van ℕ₀ skei.

💡

Vinnige kontrole vir die vierkantswortel van ’n positiewe telgetal: is dit ’n volkome vierkant (1, 4, 9, 16, 25, 36…)? Indien wel, is die wortel rasionaal; indien nie, is dit irrasionaal. Die kontrole is net vir telgetalle — √0,25 = 0,5 en √(1/4) = 1/2 is rasionaal, al is 0,25 en 1/4 nie op daardie lys nie.

4Waar of onwaar? Die stellings waarvan eksamens hou

Eksamens toets die definisies met kort waar-of-onwaar-stellings. Gebruik die geneste prent: 'n versameling bevat elke versameling binne-in hom, maar nie andersom nie.

Uitgewerkte voorbeeldBesluit of elke stelling waar of onwaar is

1
Elke heelgetal is 'n rasionale getal — waar: 'n heelgetal soos −4 kan as (−4)/1 geskryf word.
2
Elke rasionale getal is 'n heelgetal — onwaar: 1/2 is rasionaal maar nie 'n heelgetal nie.
3
0 is 'n natuurlike getal — onwaar: die natuurlike getalle begin by 1; 0 is die eerste telgetal.
4
√9 is irrasionaal — onwaar: √9 = 3, 'n telgetal.
Werk die wortel uit voordat jy besluit.
5
π = 22/7 — onwaar: 22/7 is net 'n benadering; π is irrasionaal.

5Toon aan dat 'n getal rasionaal is

Uitgewerkte voorbeeldToon aan dat 0,75 en −6 rasionale getalle is

1
0,75 = 75/100 = 3/4.
Twee desimale plekke beteken honderdstes.
2
−6 = (−6)/1.
Enige heelgetal kan oor 1 geskryf word.
3
Albei kan as a/b geskryf word met heelgetalle a en b en b ≠ 0, so albei is rasionaal.

6Skat 'n irrasionale wortel

'n Irrasionale wortel kan nie presies as 'n desimale getal geskryf word nie, maar jy kan altyd sê tussen watter twee telgetalle dit lê. Soek die volkome vierkante aan weerskante van die getal onder die wortel.

Uitgewerkte voorbeeldTussen watter twee opeenvolgende telgetalle lê √30?

1
25 < 30 < 36.
25 en 36 is die volkome vierkante aan weerskante van 30.
2
Dus √25 < √30 < √36, dit wil sê 5 < √30 < 6.
3
√30 lê tussen 5 en 6.
30 is nader aan 25 as aan 36, so √30 is nader aan 5.

⚠️

π is nie 3,14 nie. 3,14 en 22 oor 7 is rasionale benaderings vir berekeninge. π self eindig nooit en herhaal nooit nie, en daarom is dit irrasionaal.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Lys die natuurlike getalle kleiner as 5.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1, 2, 3, 4
2
Wat is die enigste telgetal wat nie ’n natuurlike getal is nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0
3
Is −7 ’n heelgetal? Is dit ’n natuurlike getal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ja, dit is ’n heelgetal; nee, dit is nie ’n natuurlike getal nie.
4
Definieer ’n rasionale getal.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Een wat geskryf kan word as a/b met a, b heelgetalle en b ≠ 0.
5
Is √36 rasionaal of irrasionaal? Waarom?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Rasionaal — √36 = 6, ’n presiese telgetal.
6
Is √20 rasionaal of irrasionaal? Waarom?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Irrasionaal — 20 is nie ’n volkome vierkant nie, dus eindig of herhaal die desimale voorstelling nooit nie.
7
Is 0,45 rasionaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ja — dit eindig, en is gelyk aan 45/100.
8
Is 0,666… rasionaal?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ja — dit herhaal, en is gelyk aan 2/3.
9
Noem twee irrasionale getalle.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
π en √2 (of die vierkantswortel van enige positiewe telgetal wat nie ’n volkome vierkant is nie)