Die Stelling van Pythagoras — Graad 8 en 9 Wiskunde (KABV)

Die verwantskap tussen die drie sye van 'n reghoekige driehoek — die skuinssy bepaal, 'n korter sy bepaal, antwoorde in wortelvorm laat, en toets of 'n driehoek reghoekig is — met 'n benoemde diagram, uitgewerkte voorbeelde en 'n vasvra.

Ook bekend as: Pythagoras se stelling · stelling van Pythagoras · reghoekige driehoek

Meer as 2 500 jaar gelede is opgemerk dat die drie sye van 'n reghoekige driehoek altyd deur een eenvoudige verwantskap aan mekaar gekoppel is. Daardie verwantskap is steeds een van die nuttigste feite in die hele wiskunde — bouers, landmeters en navigators gebruik dit elke dag.

1Die sye benoem

Die langste sy, altyd teenoor die regte hoek, word die skuinssy genoem. Die ander twee sye is eenvoudig die korter sye (of reghoeksye).

'n Reghoekige driehoek met sye 3, 4 en 5. Die skuinssy (c) is teenoor die regte hoek en is altyd die langste sy.

Die Stelling van Pythagoras
a² + b² = c²
waar c die skuinssy is

⚠️

Die stelling werk net in 'n reghoekige driehoek. As daar geen regte hoek is nie, is a² + b² = c² eenvoudig vals.

2Die skuinssy bepaal

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die skuinssy van 'n reghoekige driehoek met sye van 6 cm en 8 cm

1
Skryf die stelling: c² = a² + b².
Jy soek die langste sy, dus is c die onderwerp.
2
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Kwadreer elke korter sy en tel dan op.
3
c = √100 = 10 cm.
Trek die vierkantswortel om die kwadrering ongedaan te maak.

3'n Korter sy bepaal

As die skuinssy bekend is en een korter sy ontbreek, moet jy aftrek eerder as optel.

Uitgewerkte voorbeeldDie skuinssy is 13 cm en een sy is 5 cm. Bepaal die ander sy

1
Skryf die stelling: 5² + b² = 13².
13 is teenoor die regte hoek, dus is dit c.
2
25 + b² = 169.
Kwadreer die bekende waardes.
3
b² = 169 − 25 = 144.
Trek af om b² alleen te kry — dit is die belangrike verskil.
4
b = √144 = 12 cm.

💡

Besluit eers: is die ontbrekende sy die skuinssy (TEL dan die kwadrate OP) of 'n korter sy (TREK dan AF)? Om dit verkeerd om te kry, is die algemeenste Pythagoras-fout.

4Die antwoord in wortelvorm laat

Nie elke antwoord is 'n telgetal nie. Wanneer die vierkantswortel nie presies is nie, vra KABV dat jy dit in wortelvorm laat — dit wil sê, met 'n wortelteken eerder as 'n afgeronde desimale breuk.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die skuinssy as die sye 2 cm en 3 cm is

1
c² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
2
c = √13 cm.
13 is nie 'n volkome vierkant nie, dus is √13 die presiese antwoord.
3
(≈ 3,6 cm as 'n desimale breuk gevra word.)
Rond net af as die vraag dit sê.

5Toets of 'n driehoek reghoekig is

Werk die kwadraat van die langste sy uit, en dan die som van die kwadrate van die ander twee. As hulle gelyk is, is die driehoek reghoekig.

Uitgewerkte voorbeeldIs 'n driehoek met sye 9, 12 en 15 reghoekig?

1
Die langste sy is 15: 15² = 225.
Die langste sy sou die skuinssy wees.
2
Die ander twee: 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
3
225 = 225, dus JA — dit is reghoekig.
Die stelling geld, dus moet die driehoek 'n regte hoek hê.

Uitgewerkte voorbeeldIs 'n driehoek met sye 4, 5 en 7 reghoekig?

1
7² = 49.
Langste sy.
2
4² + 5² = 16 + 25 = 41.
3
41 ≠ 49, dus NEE — dit is nie reghoekig nie.
Skryf altyd die gevolgtrekking in woorde.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die skuinssy: sye van 3 cm en 4 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c² = 9 + 16 = 25 → 5 cm
2
Bepaal die skuinssy: sye van 9 cm en 12 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c² = 81 + 144 = 225 → 15 cm
3
Bepaal die ontbrekende sy: skuinssy 10 cm, een sy 6 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
b² = 100 − 36 = 64 → 8 cm
4
Bepaal die ontbrekende sy: skuinssy 25 cm, een sy 24 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
b² = 625 − 576 = 49 → 7 cm
5
Bepaal die skuinssy in wortelvorm: sye van 1 cm en 2 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c² = 1 + 4 = 5 → √5 cm
6
Bepaal die skuinssy in wortelvorm: sye van 3 cm en 5 cm.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
c² = 9 + 25 = 34 → √34 cm
7
Is 'n driehoek met sye 5, 12, 13 reghoekig?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
13² = 169; 25 + 144 = 169 → Ja
8
Is 'n driehoek met sye 6, 7, 10 reghoekig?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
100 teenoor 36 + 49 = 85 → Nee
9
'n Leer van 5 m lank staan 3 m van 'n muur af. Hoe hoog teen die muur reik dit?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
h² = 25 − 9 = 16 → 4 m