Trigonometrie — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die reghoekige trigonometrievrae van Graad 10 — sye benoem, ’n sy bepaal met sin/cos/tan, die skuinssy bepaal, ’n hoek bepaal met die inverse, spesiale hoeke, en ’n toepassing met ’n hoogtehoek — elkeen volledig uitgewerk, met ’n diagram en werkblad.

Ook bekend as: sin cos tan reghoekige driehoek · sinus cosinus tangens · trigonometriese verhoudings · reghoekige driehoek trigonometrie

Trigonometrie verbind die hoeke van ’n reghoekige driehoek met die lengtes van sy sye. Dit begin met drie verhoudings — sinus, cosinus en tangens — en sodra jy die sye korrek kan benoem, volg elke soort vraag dieselfde roetine.

1Benoem die drie sye

Die skuinssy is die langste sy, altyd teenoor die regte hoek.
Die teenoorstaande sy is oorkant die hoek waarmee jy werk.
Die aangrensende sy is langs daardie hoek (maar is nie die skuinssy nie).

Belangrik: ‘teenoorstaande’ en ‘aangrensende’ hang af van watter hoek jy gebruik. Benoem hulle opnuut vir elke vraag.

Die sye word benoem relatief tot die hoek θ. Die skuinssy is altyd teenoor die regte hoek.

2Die drie verhoudings om te onthou

sinθ = Teenoorstaande/Skuinssy cosθ = Aangrensende/Skuinssy tanθ = Teenoorstaande/Aangrensende

Die roetine elke keer: (1) benoem die sye, (2) kies die verhouding wat die twee betrokke sye gebruik, (3) los op.

3Tipe 1: Bepaal ’n sy met sinus (teenoorstaande en skuinssy)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: bepaal x, teenoor ’n hoek van 30°, skuinssy 10

1
Jy het die skuinssy en soek die teenoorstaande sy → gebruik sinus (teenoorstaande gedeel deur skuinssy).
Sinus verbind die teenoorstaande sy en die skuinssy.
2
sin 30° = x/10.
Teenoorstaande gedeel deur skuinssy.
3
x = 10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5.
Vermenigvuldig albei kante met 10.

4Tipe 2: Bepaal ’n sy met cosinus of tangens

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: bepaal x, aangrensend aan ’n hoek van 40°, skuinssy 12

1
Aangrensende en skuinssy → gebruik cosinus (aangrensende gedeel deur skuinssy).
cos = aangrensende/skuinssy
2
cos 40° = x/12 → x = 12 × cos 40°.
Isoleer x.
3
x ≈ 12 × 0,766 = 9,19.
Gebruik die sakrekenaar (in grade).

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: bepaal x, teenoor ’n hoek van 35°, aangrensende = 8 (gebruik tan)

1
Teenoorstaande en aangrensende → gebruik tangens (teenoorstaande gedeel deur aangrensende).
tan = teenoorstaande/aangrensende
2
tan 35° = x/8 → x = 8 × tan 35°.
3
x ≈ 8 × 0,700 = 5,60.

5Tipe 3: Bepaal die skuinssy

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: die sy teenoor ’n hoek van 25° is 6; bepaal die skuinssy

1
Teenoorstaande en skuinssy → sinus: sin 25° = 6/h.
Die onbekende is hierdie keer onder.
2
Herrangskik: h = 6/(sin 25°).
Vermenigvuldig albei kante met h, deel deur sin 25°.
3
h ≈ 6/0,4226 = 14,2.

6Tipe 4: Bepaal ’n hoek (gebruik die inverse)

Wanneer jy twee sye ken en die hoek soek, gebruik die inverse funksie (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ op jou sakrekenaar).

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: teenoorstaande = 7, skuinssy = 10; bepaal θ

1
Teenoorstaande en skuinssy → sinus: sin θ = 7/10 = 0,7.
Stel eers die verhouding op.
2
θ = sin⁻¹(0,7).
Inverse sinus ‘ontdoen’ die sinus om die hoek te gee.
3
θ ≈ 44,4°.
Gebruik die sin⁻¹-sleutel (of 2ndF sin).

7Tipe 5: Spesiale hoeke (presiese waardes)

Memoriseer hierdie — hulle kom sonder ’n sakrekenaar voor: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = (√3)/2, sin 45° = cos 45° = 1/(√2), tan 45° = 1.

8Tipe 6: Toepassing: hoogtehoek

Die hoogtehoek θ word opwaarts vanaf die horisontaal na die siglyn gemeet.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 6: ’n leer reik 4 m teen ’n muur op teen 60° met die grond; hoe lank is dit?

1
Die 4 m is teenoor die hoek van 60°; die leer is die skuinssy → sinus.
teenoorst. en skuinssy → sinus.
2
sin 60° = 4/L → L = 4/(sin 60°).
Die onbekende skuinssy is onder.
3
L ≈ 4/0,866 = 4,62 m.

💡

Soek jy ’n sy? Gebruik sin/cos/tan direk. Soek jy ’n hoek? Gebruik die inverse (sin⁻¹ ens.). En hou altyd jou sakrekenaar in GRADE — die verkeerde modus is die nommer 1-oorsaak van ‘lukrake’ verkeerde antwoorde.

⚠️

Kies die verhouding uit die twee sye wat jy het. Moenie outomaties sinus gebruik nie — as jy die teenoorstaande en aangrensende sye het, is dit tangens. Benoem eers die sye, elke keer.

Trigonometrie is ’n groot, betroubare afdeling van Vraestel 2 in Graad 11–12. Bemeester hierdie ses soorte vrae nou, en die moeiliker werk later bou op ’n vaste fondament.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal x teenoor ’n hoek van 30°, skuinssy 8. (sinus)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 8 sin 30° = 8 × 0,5 = 4
2
Bepaal x teenoor ’n hoek van 50°, skuinssy 10. (sinus)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
10 sin 50° ≈ 7,66
3
Bepaal x aangrensend aan ’n hoek van 60°, skuinssy 14. (cosinus)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
14 cos 60° = 14 × 0,5 = 7
4
Bepaal x teenoor ’n hoek van 40°, aangrensende sy 9. (tangens)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
9 tan 40° ≈ 7,55
5
Die sy teenoor ’n hoek van 30° is 5. Bepaal die skuinssy. (skuinssy)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
h = 5/(sin 30°) = 10
6
teenoorstaande = 6, skuinssy = 12. Bepaal θ. (hoek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sinθ = 0,5 → θ = 30°
7
aangrensende = 8, skuinssy = 16. Bepaal θ. (hoek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cosθ = 0,5 → θ = 60°
8
teenoorstaande = 5, aangrensende = 5. Bepaal θ. (hoek)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
tanθ = 1 → θ = 45°
9
Gee die presiese waarde van sin 30° en tan 45°. (spesiaal)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2 en 1
10
’n Tou na die bopunt van ’n paal van 6 m maak 40° met die grond. Lengte van die tou? (toepassing)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sin 40° = 6/L → L = 6/(sin 40°) ≈ 9,33 m