Die sirkel en sy raaklyn — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die vergelyking (x − a)² + (y − b)² = r², vierkantsvoltooiing om die middelpunt en radius uit die algemene vorm te bepaal, en die bepaling van die raaklyn by ’n punt op die sirkel.

1Die standaardvorm

(x − a)² + (y − b)² = r²

middelpunt (a ; b), radius r

⚠️

Die middelpunt is (a ; b), en die tekens draai om. (x − 2)² + (y + 3)² = 25 het middelpunt (2 ; −3), nie (2 ; 3) nie.

x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0: middelpunt M(2 ; −3), radius 5, met P(6 ; 0) op die sirkel.

2Vanaf die algemene vorm: vierkantsvoltooiing

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die middelpunt en radius van x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0

1
Groepeer: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 12.
Skuif die konstante na regs.
2
Halveer en kwadreer elkeen: (−4 ÷ 2)² = 4 en (6 ÷ 2)² = 9.
3
(x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9.
Tel by ALBEI kante by.
4
(x − 2)² + (y + 3)² = 25.
5
Middelpunt (2 ; −3), radius 5.
r = √25 = 5.

3Die raaklyn by ’n punt

raaklyn ⊥ radius ⇒ m_raaklyn × m_radius = −1

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel hierbo by P(6 ; 0)

1
Kontroleer dat P op die sirkel is: (6 − 2)² + (0 + 3)² = 16 + 9 = 25. ✓
Verifieer altyd voordat jy begin.
2
m_MP = (0 − (−3))/(6 − 2) = 3/4.
Gradiënt van die radius vanaf die middelpunt na P.
3
m_raaklyn = −4/3.
Negatiewe omgekeerde, omdat die raaklyn loodreg op die radius is.
4
y − 0 = −4/3(x − 6).
Punt-gradiëntvorm deur P.
5
y = −4/3x + 8.

💡

Elke sirkelvraag wat ’n raaklyn noem, vra eintlik oor loodregte gradiënte. Bepaal eers die radius se gradiënt, draai dit dan om en verander die teken. Let op die spesiale gevalle: as die radius horisontaal is, is die raaklyn vertikaal (x = ’n konstante), en as die radius vertikaal is, is die raaklyn horisontaal (y = ’n konstante).

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die middelpunt en radius van (x − 2)² + (y + 3)² = 25 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Middelpunt (2 ; −3), radius 5
2
Bepaal die middelpunt en radius van x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Vierkantsvoltooiing: (x − 2)² + (y + 3)² = 25 → middelpunt (2 ; −3), r = 5
3
Toon aan dat P(6 ; 0) op die sirkel x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 lê.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(6 − 2)² + (0 + 3)² = 16 + 9 = 25 = r², dus lê P op die sirkel.
4
Bepaal die gradiënt van die radius MP waar M(2 ; −3) en P(6 ; 0).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3/4
5
Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by P(6 ; 0).
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
m = −4/3 → y = −4/3x + 8
6
Skryf die vergelyking neer van ’n sirkel met middelpunt (0 ; 0) en radius 7.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² + y² = 49
7
Bepaal die radius van x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x + 1)² + (y − 4)² = −8 + 1 + 16 = 9 → r = 3
8
Wat is die verband tussen ’n raaklyn en die radius by die raakpunt?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Hulle is loodreg op mekaar.