Eksponentwette en rasionale eksponente — Graad 10 (KABV)

Die eksponentwette uitgebrei na negatiewe en breukmagte, herleiding tussen wortels en rasionale eksponente, moeiliker uitdrukkings vereenvoudig, en eksponensiële vergelykings oplos deur die grondtalle gelyk te maak.

Kyk die video's (Engels)

Eksponente is een van die vaardighede wat die meeste in Graad 10, Kwartaal 1, geëksamineer word. Die wette self is onveranderd van Graad 9 — wat nuut is, is dat die magte nou negatief of breuke kan wees, en dieselfde wette geld steeds.

1Die wette (onveranderd)

x^m × xⁿ = x^{m + n} · x^m ÷ xⁿ = x^{m − n}
(x^m)ⁿ = x^mn · x^my^m = (xy)^m
x⁰ = 1 · x⁻ⁿ = 1/xⁿ (x ≠ 0)

⚠️

’n Negatiewe eksponent maak nooit die antwoord negatief nie. 3⁻² = 1/9, nie −9 nie.

2Rasionale eksponente (breukeksponente)

In ’n breukeksponent gee die noemer die wortel en die teller die mag.

x^1/n = ⁿ√x · x^m/n = (ⁿ√x)^m (x > 0, n > 0)

Uitgewerkte voorbeeldBereken 27^2/3 sonder ’n sakrekenaar

1
Die noemer 3 sê neem die DERDEMAGSWORTEL: ∛27 = 3.
Doen altyd eers die wortel — die getalle bly klein.
2
Die teller 2 sê kwadreer dit: 3² = 9.
3
27^2/3 = 9.
Om eers die mag te doen (27² = 729), werk ook, maar is baie moeiliker.

Uitgewerkte voorbeeldBereken 16^−3/4

1
Die negatiewe eksponent beteken neem die omgekeerde: 1/(16^3/4).
Hanteer eers die minusteken.
2
16^3/4: die vierdemagswortel van 16 is 2, dan 2³ = 8.
Wortel, dan mag.
3
Antwoord: 1/8.

💡

Volgorde van aanval: negatiewe teken → wortel → mag. Om die wortel voor die mag te neem, hou elke getal klein genoeg om in jou kop te doen.

3Uitdrukkings vereenvoudig

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: 12x⁵y³/4x²y⁷

1
Getalle: 12 ÷ 4 = 3.
2
x: 5 − 2 = 3, wat x³ gee.
Trek eksponente af wanneer jy deel.
3
y: 3 − 7 = −4, wat y⁻⁴ gee.
4
= 3x³/y⁴
Finale antwoorde word gewoonlik met positiewe eksponente geskryf.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig: (2^{x + 3})/2^x

1
Dieselfde grondtal, dus trek die eksponente af: (x + 3) − x.
2
= 2³ = 8.
Die x verdwyn heeltemal — ’n gunsteling-eksamentruuk.

4Eksponensiële vergelykings

As twee magte met dieselfde grondtal gelyk is, moet hulle eksponente gelyk wees — mits daardie grondtal positief is en nie 1 is nie.

As a > 0 en a ≠ 1, dan a^m = aⁿ ⇒ m = n
Die grondtal 1 bewys niks: 1⁵ = 1⁹, maar 5 ≠ 9.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 2^x = 32

1
Skryf 32 as ’n mag van 2: 32 = 2⁵.
Maak die grondtalle dieselfde.
2
2^x = 2⁵, dus x = 5.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 3^{2x − 1} = 81

1
81 = 3⁴.
Dieselfde grondtal.
2
2x − 1 = 4.
Stel die eksponente gelyk.
3
2x = 5, dus x = 2,5.

⚠️

Jy mag eksponente eers gelykstel sodra die grondtalle identies is. Uit 2^x = 8^{x − 1} kan jy nie die eksponente gelykstel terwyl die grondtalle verskil nie. Skryf eers 8 as 2³: 2^x = 2^{3(x − 1)}, dus x = 3x − 3 en x = 1,5.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Vereenvoudig: x⁷ × x⁻³
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x⁴
2
Vereenvoudig: (2x³)⁴
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
16x¹²
3
Bereken: 5⁻²
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/25
4
Bereken: 9^1/2
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3
5
Bereken: 8^2/3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(∛8)² = 2² = 4
6
Bereken: 27^2/3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(∛27)² = 3² = 9
7
Bereken: 16^3/4
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(∜16)³ = 2³ = 8
8
Bereken: 16^−3/4
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/8
9
Vereenvoudig: (2^{x + 3})/2^x
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2³ = 8
10
Los op: 2^x = 64
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
64 = 2⁶ → x = 6
11
Los op: 3^{x + 1} = 27
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x + 1 = 3 → x = 2
12
Los op: 5^2x = 125
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2x = 3 → x = 1,5