Buite-oppervlakte en volume van prismas, silinders, regte keëls, die sfeer en regte piramides (en watter hoogte elkeen gebruik), saamgestelde liggame wat daaruit gebou is, en wat met oppervlakte en volume gebeur wanneer elke afmeting met ’n faktor k vermenigvuldig word.
Graad 10 voeg die regte keël, die sfeer en die regte piramide by die prismas en silinders wat jy reeds ken. Dan vra dit dat jy met saamgestelde liggame werk — twee hiervan wat aan mekaar verbind is, of een wat uit ’n ander uitgesny is — en dit vra een nuwe vraag: wat gebeur wanneer jy ’n liggaam vergroot?
1Die formules
Silinder: V = πr2h · BO = 2πr2 + 2πrh
Keël: V = ⅓πr2h · BO = πr2 + πrℓ
Sfeer: V = 4/3πr3 · BO = 4πr2
Regte piramide: V = ⅓ × basisoppervlakte × h · BO = basisoppervlakte + oppervlakte van die driehoekige vlakke
h is altyd die loodregte hoogte, reguit op gemeet vanaf die basis; ℓ is die skuinshoogte, gemeet teen die skuins kant op.
Die keël en die piramide dra albei ’n ⅓; die silinder en die prisma nie. Daardie een detail is die punt wat die meeste in hierdie onderwerp verloor word.
- 1V = πr²h = 3,14 × 25 × 12.Kwadreer eers die radius.
- 2V = 942 cm³.
- 1V = ⅓πr²h = ⅓ × 3,14 × 9 × 4.
- 2V = ⅓ × 113,04 = 37,68 cm³.Presies ’n derde van die ooreenstemmende silinder.
- 3Skuinshoogte: ℓ2 = 42 + 32 = 25, dus ℓ = 5 cm.Die hoogte, die radius en die skuinshoogte vorm ’n reghoekige driehoek binne die keël.
- 4BO = πr2 + πrℓ = 3,14 × 9 + 3,14 × 3 × 5 = 28,26 + 47,10 = 75,36 cm².Die plat basis plus die geboë oppervlak — en die geboë oppervlak gebruik ℓ, nooit h nie.
- 1BO = 4πr² = 4 × 3,14 × 36.
- 2BO = 452,16 cm².
2Regte piramides: twee verskillende hoogtes (Graad 10)
Graad 11, lees dit eerste. Piramides is Graad 10-meting. Jou hersieningslys vir Kwartaal 4 is: “Hersien die volume en buite-oppervlaktes van regte prismas en silinders”, die effek daarvan om ’n afmeting met k te vermenigvuldig, en “volume en buite-oppervlaktes van die sfeer, regte prismas, regte keëls en kombinasies van daardie voorwerpe” — die piramide is nie daarop nie. Werk deur hierdie afdeling as jy die hersiening wil hê; dit sal nie in ’n Graad 11-vraestel gestel word nie.
In ’n regte piramide lê die toppunt reg bo die middelpunt van die basis. In Graad 10 is die basis ’n vierkant of ’n gelyksydige driehoek. ’n Piramide het twee hoogtes, en elke piramidevraag draai om die regte een te gebruik.
Buite-oppervlakte gebruik die skuinshoogte: BO = basisoppervlakte + oppervlakte van die driehoekige vlakke
Vierkantige basis met sy b: BO = b2 + 4 × 1/2bℓ
Van die een hoogte na die ander: ℓ2 = h2 + (1/2b)2
- 1Skuinshoogte: ℓ2 = 42 + 32 = 25, dus ℓ = 5 cm.Die helfte van die basisrand is 3 cm. Die hoogte, die halwe basis en die skuinshoogte vorm ’n reghoekige driehoek.
- 2Basis = 6 × 6 = 36 cm2. Elke vlak = 1/2 × 6 × 5 = 15 cm2.Elke vlak is ’n driehoek met basis 6 cm en hoogte ℓ = 5 cm.
- 3BO = 36 + 4 × 15 = 96 cm2.Een vierkantige basis en vier identiese driehoeke.
- 4V = ⅓ × 36 × 4 = 48 cm3.Volume gebruik die loodregte hoogte, 4 cm — nie die skuinshoogte nie.
Om die loodregte hoogte vir die vlakke te gebruik: 4 × 1/2 × 6 × 4 = 48 cm2 is te klein, omdat die vlakke skuins staan. Die hoogte van elke vlak is die skuinshoogte ℓ = 5 cm, wat 60 cm2 gee. Die vuisreël: volume → h, buite-oppervlakte → ℓ.
Gelyksydige driehoek as basis? Bepaal eers die hoogte van die basisdriehoek met Pythagoras. Vir sye van 6 cm is dit √(62 − 32) = √27 ≈ 5,20 cm, dus is die basisoppervlakte 1/2 × 6 × √27 ≈ 15,59 cm2. Tel dan die drie skuins vlakke by, elk 1/2 × 6 × ℓ.
3Saamgestelde liggame
’n Saamgestelde liggaam word uit die liggame hierbo gebou — ’n silinder met ’n koepel bo-op, ’n keël op ’n silinder, ’n blok met ’n holte daarin uitgesny. Daar is geen nuwe formule nie, net drie besluite:
- Verdeel dit in liggame wat jy ken, en skryf elke deel se eie afmetings neer. ’n Koepel wat presies op ’n silinder sit, het die silinder se radius.
- Volume: TEL die dele wat daar is BY; TREK enige deel wat uitgesny of uitgehol is AF.
- Buite-oppervlakte: tel net die oppervlakke aan die BUITEKANT van die voltooide liggaam. Waar twee dele verbind is, is daardie vlak binne-in toegemaak — laat dit uit albei dele uit. Waar ’n holte uitgesny word, word sy binnewande nuwe oppervlak.
- 1V = πr2h + 2/3πr3 = π(3)2(10) + 2/3π(3)3’n Halfsfeer is die helfte van ’n sfeer: 1/2 × 4/3πr3 = 2/3πr3. Albei dele is daar, dus TEL hulle BY.
- 2V = 90π + 18π = 108π ≈ 339,29 m3Hou π tot by die laaste reël en rond een keer af, aan die einde.
- 3Die oppervlak is die plat basis, die silinder se geboë wand en die koepel se geboë oppervlak.Die sirkel waar die koepel die silinder ontmoet (gestippel), is binne die liggaam toegemaak. Dit is NIE oppervlak nie — nie as die bokant van die silinder nie en nie as die plat vlak van die halfsfeer nie.
- 4BO = πr2 + 2πrh + 2πr2 = 9π + 60π + 18π = 87π ≈ 273,32 m2Die geboë oppervlak van ’n halfsfeer is die helfte van 4πr2, wat 2πr2 is.
As jy die twee liggame se eie buite-oppervlaktes bymekaartel, word die verbinde sirkel twee keer getel — een keer as die bokant van die silinder en een keer as die plat vlak van die halfsfeer. Hier voeg dit 2 × 9π ≈ 56,55 m2 oppervlak by wat nie bestaan nie.
- 1V = π(6)2(10) − 1/3π(6)2(8) = 360π − 96π = 264π ≈ 829,38 cm3Die keël is weggeneem, dus TREK dit AF.
- 2Skuinshoogte van die keël: ℓ2 = 82 + 62 = 100, dus ℓ = 10 cm.Die keël se geboë wand is nou ’n binne-oppervlak van die liggaam, en sy oppervlakte het ℓ nodig.
- 3Die oppervlak is die basis, die buitenste geboë wand en die geboë wand van die holte.Die boonste sirkel is weg — dit is die oop mond van die holte.
- 4BO = π(6)2 + 2π(6)(10) + π(6)(10) = 36π + 120π + 60π = 216π ≈ 678,58 cm2Die geboë oppervlak van ’n keël is πrℓ.
4Die effek van skalering
As elke afmeting van ’n liggaam met k vermenigvuldig word:
- 1k = 2, en volume skaal met k³.Volume behels drie afmetings.
- 22³ = 8, dus word die volume 8 keer so groot.Sy buite-oppervlakte word 2² = 4 keer so groot.
Om die afmetings te verdubbel, verdubbel nie die volume nie — dit vermenigvuldig dit met 8. Oppervlakte styg met k² en volume met k³, nooit met k nie.
Oefeninge
Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.
- 1’n Kubus het ’n volume van 216 cm3. Bepaal die lengte van een rand, en dus die totale buite-oppervlakte van die kubus.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
rand = ∛216 = 6 cm (2)
’n Kubus het 6 vierkantige vlakke, dus BO = 6 × 62 (1)
= 216 cm2 (1) - 2Die diagram hieronder toon ’n silinder. Bereken sy volume. (π ≈ 3,14)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3,14 × 25 × 12 = 942 cm³ - 3Die diagram hieronder toon ’n keël. Bereken sy volume. (π ≈ 3,14)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
⅓ × 3,14 × 9 × 4 = 37,68 cm³ - 4Bereken die volume van die sfeer in die diagram hieronder. (π ≈ 3,14)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4/3 × 3,14 × 27 = 113,04 cm³ - 5Bereken die buite-oppervlakte van die sfeer in die diagram hieronder. (π ≈ 3,14)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
4 × 3,14 × 36 = 452,16 cm² - 6Die diagram hieronder toon ’n piramide. Bereken sy volume.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
⅓ × 30 × 9 = 90 cm³ - 7Die diagram hieronder toon ’n regte piramide met ’n vierkantige basis met sy 18 cm en ’n loodregte hoogte van 12 cm. Bereken die skuinshoogte ℓ en die totale buite-oppervlakte van die piramide.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die helfte van die basisrand = 9 cm; ℓ2 = 122 + 92 = 225, dus ℓ = 15 cm (2)
Basis = 182 = 324 cm2 (1); vier vlakke = 4 × 1/2 × 18 × 15 = 540 cm2 (1)
TBO = 324 + 540 = 864 cm2 (1) - 8Die diagram hieronder toon ’n regte piramide waarvan die basis ’n gelyksydige driehoek met sye van 8 cm is. Die skuinshoogte van elke skuins vlak is 10 cm. Bereken die totale buite-oppervlakte van die piramide.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Hoogte van die basisdriehoek = √(82 − 42) = √48 ≈ 6,93 cm (1)
Basisoppervlakte = 1/2 × 8 × √48 ≈ 27,71 cm2 (1)
Drie vlakke = 3 × 1/2 × 8 × 10 = 120 cm2 (1)
TBO ≈ 147,71 cm2 (1) - 9’n Liggaam se afmetings word almal verdubbel. Wat gebeur met sy volume?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit word 8 keer groter (2³). - 10’n Liggaam se afmetings word almal verdriedubbel. Wat gebeur met sy buite-oppervlakte?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit word 9 keer groter (3²). - 11Die diagram hieronder toon ’n driehoekige prisma. Bereken sy volume.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
½ × 6 × 4 = 12 cm²; 12 × 10 = 120 cm³ - 12Bereken die volume van die silinder in die diagram hieronder. (π ≈ 3,14)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3,14 × 16 × 8 = 401,92 cm³ - 13Die liggaam in die diagram hieronder is ’n silinder met radius 4 cm en hoogte 10 cm met ’n keël van hoogte 3 cm bo-op. Bereken die volume en die totale buite-oppervlakte van die liggaam, korrek tot TWEE desimale plekke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
V = π(4)2(10) + 1/3π(4)2(3) = 160π + 16π = 176π ≈ 552,92 cm3 (2)
Skuinshoogte van die keël: ℓ = √(32 + 42) = 5 cm (1)
TBO = basis + geboë wand + geboë keël = π(4)2 + 2π(4)(10) + π(4)(5) (1)
= 16π + 80π + 20π = 116π ≈ 364,42 cm2 (1)
Die sirkel waar die keël die silinder ontmoet, is binne-in toegemaak en word nie getel nie (1) - 14’n Kubus met rande van 3 cm word op die middel van die bokant van ’n kubus met rande van 6 cm vasgeplak, soos in die diagram hieronder. Bereken die totale buite-oppervlakte van die liggaam.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Groot kubus: 6 × 62 = 216 cm2; klein kubus: 6 × 32 = 54 cm2 (1)
Die verbinde vierkant van 3 cm by 3 cm is op AL TWEE kubusse versteek: trek 2 × 9 = 18 cm2 af (1)
TBO = 216 + 54 − 18 = 252 cm2 (1) - 15Watter twee liggame het ’n ⅓ in hulle volumeformule?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die keël en die piramide
Vinnige vasvra
7 vinnige vrae oor wat jy pas gelees het. Doen dit wanneer jy gereed voel.
Oefen dit nou
Laai Graad 10-vraestelle en -werkkaarte oor hierdie onderwerp af (in Engels).