Getalpatrone: lineêre rye — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die konstante verskil vind, die algemene term Tₙ = dn + c skryf, enige term bereken, en terugwerk om te vind watter term ’n gegewe waarde het.

’n Ry is lineêr (of rekenkundig) wanneer jy elke keer dieselfde bedrag bytel. Daardie bedrag is die konstante verskil, d.

1Die algemene term

Tₙ = dn + c

d = konstante verskil
c = die term VOOR die eerste een (dit wil sê, T₀)

Die ry 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 gestip teenoor n — lineêre rye lê op ’n reguit lyn.

💡

Omdat Tₙ = dn + c die vergelyking van ’n reguit lyn is, is die konstante verskil d presies die gradiënt. Daarom is die gestipte punte saamlynig.

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene term van 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; …

1
d = 8 − 5 = 3. Kontroleer: 11 − 8 = 3 en 14 − 11 = 3. ✓
Kontroleer altyd dat die verskil deurgaans dieselfde is.
2
Tₙ = 3n + c.
Vervang d = 3.
3
T₁ = 5, dus 3(1) + c = 5.
Gebruik die eerste term om c te vind.
4
c = 2, dus Tₙ = 3n + 2.
Kontroleer T₃: 3(3) + 2 = 11. ✓

⚠️

c is nie die eerste term nie. Vir 5 ; 8 ; 11 is die eerste term 5, maar c = 2 — dit is die waarde wat die patroon by n = 0 sou gehad het.

2’n Spesifieke term vind

Uitgewerkte voorbeeldBereken T₅₀ vir die ry 5 ; 8 ; 11 ; …

1
Tₙ = 3n + 2.
2
T₅₀ = 3(50) + 2.
Vervang n = 50.
3
= 152.

3Terugwerk

Uitgewerkte voorbeeldWatter term van 5 ; 8 ; 11 ; … is gelyk aan 47?

1
3n + 2 = 47.
Stel die algemene term gelyk aan die waarde.
2
3n = 45.
3
n = 15, dus is 47 die 15de term.
Kontroleer: 3(15) + 2 = 47. ✓

Uitgewerkte voorbeeldIs 100 ’n term van die ry 5 ; 8 ; 11 ; …?

1
3n + 2 = 100 → 3n = 98.
2
n = 98/3 = 32,67…
3
n is nie ’n telgetal nie, dus is 100 nie ’n term van hierdie ry nie.
Termnommers moet positiewe heelgetalle wees — sê dit in woorde.

4Vind die patroon uit twee terme wat nie langs mekaar is nie

Soms is die terme wat gegee word nie opeenvolgend nie. Die verskil tussen twee terme is d vermenigvuldig met die aantal stappe tussen hulle.

Uitgewerkte voorbeeldIn 'n lineêre patroon is T₃ = 11 en T₇ = 27. Bepaal die algemene term.

1
Van T₃ tot T₇ is 4 stappe, so 4d = 27 − 11 = 16 en d = 4.
Tel stappe, nie terme nie.
2
Tₙ = 4n + c en T₃ = 11: 4(3) + c = 11, so c = −1.
3
Tₙ = 4n − 1.
Kontroleer T₇: 4(7) − 1 = 27. ✓

5Dalende lineêre patrone

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die algemene term van 31 ; 27 ; 23 ; 19 ; … en vind die eerste negatiewe term.

1
d = 27 − 31 = −4.
'n Dalende patroon het 'n negatiewe konstante verskil.
2
Tₙ = −4n + c; T₁ = 31 gee −4 + c = 31, so c = 35 en Tₙ = −4n + 35.
3
−4n + 35 < 0 → n > 8,75, so die eerste negatiewe term is T₉ = −4(9) + 35 = −1.
n moet 'n natuurlike getal wees, so neem die volgende telgetal na 8,75.

6Lineêre patrone in konteks

Uitgewerkte voorbeeld'n Taxi vra R15 om 'n rit te begin plus R9 vir elke kilometer. Skryf die koste van 'n n-kilometer-rit as 'n algemene term, en bepaal hoe ver jy vir R222 kan ry.

1
Die koste vir 1, 2 en 3 km is R24 ; R33 ; R42 ; …, so die konstante verskil is 9.
2
Tₙ = 9n + 15.
Hier is c = 15 die beginfooi: die koste by n = 0.
3
9n + 15 = 222 → 9n = 207 → n = 23 km.

💡

In 'n konteks beteken c gewoonlik iets: dit is die bedrag voordat enigiets gebeur het (n = 0) — 'n beginfooi, 'n openingsaldo of 'n beginhoogte.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die konstante verskil van 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
d = 3
2
Bepaal die algemene term Tₙ van 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
d = 3, T₁ = 5 → c = 2 → Tₙ = 3n + 2
3
Bereken T₅₀ vir die ry 5 ; 8 ; 11 ; …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3(50) + 2 = 152
4
Watter term van 5 ; 8 ; 11 ; … is gelyk aan 47?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3n + 2 = 47 → n = 15
5
Is 100 ’n term van die ry 5 ; 8 ; 11 ; …? Regverdig.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3n = 98 gee n = 32,67, wat nie ’n telgetal is nie, dus nee.
6
Bepaal die algemene term van 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
d = 4, c = 3 → Tₙ = 4n + 3
7
Bepaal die algemene term van 20 ; 17 ; 14 ; 11 ; …
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
d = −3, c = 23 → Tₙ = −3n + 23
8
Verduidelik waarom ’n lineêre ry as ’n reguit lyn stip.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Omdat Tₙ = dn + c die vergelyking van ’n reguit lyn is, met die konstante verskil as die gradiënt.