Die polinoom — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die gebruik van die resstelling om ’n res te bepaal sonder om te deel, die faktorstelling om die eerste faktor van ’n derdegraadse polinoom te vind, en dan die volledige faktorisering en oplossing van die derdegraadse vergelyking.

1Die twee stellings

Resstelling
As f(x) deur (x − a) gedeel word, is die res f(a).

Faktorstelling
(x − a) is ’n faktor van f(x) as en slegs as f(a) = 0.

💡

Die teken draai om: vir die faktor (x − 2) vervang jy x = +2; vir (x + 1) vervang jy x = −1. Stel die hakie gelyk aan nul en los op.

2’n Res bepaal

Uitgewerkte voorbeeldBepaal die res wanneer f(x) = x³ − 4x² + x + 6 deur (x − 1) gedeel word

1
Stel x − 1 = 0, dus x = 1.
Die resstelling het die waarde nodig wat die deler nul maak.
2
f(1) = 1 − 4 + 1 + 6.
Vervang.
3
= 4.
Glad geen langdeling nodig nie.

3’n Derdegraadse polinoom faktoriseer

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer f(x) = x³ − 4x² + x + 6 volledig

1
Probeer die faktore van die konstante 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
Enige heelgetalwortel moet in die konstante term deel.
2
f(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0, dus is (x − 2) ’n faktor.
Faktorstelling.
3
Deel: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3).
Gebruik langdeling of inspeksie.
4
Faktoriseer die drieterm: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
5
f(x) = (x − 2)(x − 3)(x + 1).
Kontroleer die konstante: (−2)(−3)(1) = 6. ✓

💡

Vinnige kontrole op enige faktorisering van ’n derdegraadse polinoom: vermenigvuldig die drie konstantes met mekaar. Hulle moet die oorspronklike konstante term gee.

Uitgewerkte voorbeeldFaktoriseer f(x) = 2x³ − 3x² − 3x + 2 volledig

1
Toets die faktore van die konstante 2: f(1) = 2 − 3 − 3 + 2 = −2, maar f(−1) = −2 − 3 + 3 + 2 = 0, dus is (x + 1) ’n faktor.
’n Heelgetalwortel moet steeds in die konstante deel, selfs met ’n 2 voor x³.
2
Deel: 2x³ − 3x² − 3x + 2 = (x + 1)(2x² − 5x + 2).
Deur inspeksie: 2x² gee die 2x³ en +2 gee die konstante; die middelterm moet die x²-koëffisiënt −3 maak.
3
Faktoriseer die drieterm: 2x² − 5x + 2 = (2x − 1)(x − 2).
Verdeel die middelterm: a × c = 4, en −4 + (−1) = −5.
4
f(x) = (x + 1)(2x − 1)(x − 2)
Die wortels is −1, 2 en ½ — en ½ is nie ’n faktor van 2 nie. Die toets van die konstante se faktore het ’n wortel gevind; die breuk het uit die kwadratiese uitdrukking gekom.

4’n Derdegraadse vergelyking oplos

Uitgewerkte voorbeeldLos op: x³ − 4x² + x + 6 = 0

1
(x − 2)(x − 3)(x + 1) = 0.
Uit die faktorisering hierbo.
2
x = 2 of x = 3 of x = −1.
Nulproduk-reël — ’n derdegraadse vergelyking het tot drie wortels.

⚠️

Begin deur faktore van die konstante term te toets, nie lukrake getalle nie — enige heelgetalwortel moet daarin deel. Vir ’n moniese derdegraadse polinoom (net x³ voor) met heelgetalkoëffisiënte en ’n konstante van 6, is die heelgetalwortels wat die moeite werd is om te probeer ±1, ±2, ±3 en ±6. Maar sodra daar ’n getal voor x³ is, kan ’n wortel ’n breuk wees: 2x³ + x² + x − 1 = (2x − 1)(x² + x + 1) het die wortel ½, en nie 1 of −1 werk nie. ’n Vraag soos dié gee jou gewoonlik die faktor om te toets.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bepaal die res wanneer f(x) = x³ − 4x² + x + 6 deur (x − 1) gedeel word.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(1) = 1 − 4 + 1 + 6 = 4
2
Toon aan dat (x − 2) ’n faktor is van f(x) = x³ − 4x² + x + 6.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(2) = 8 − 16 + 2 + 6 = 0, dus is volgens die faktorstelling (x − 2) ’n faktor.
3
Faktoriseer f(x) = x³ − 4x² + x + 6 volledig.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 2)(x − 3)(x + 1)
4
Los op vir x: x³ − 4x² + x + 6 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 2, x = 3 of x = −1
5
Bepaal die res wanneer f(x) = 2x³ + x − 3 deur (x + 1) gedeel word.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(−1) = −2 − 1 − 3 = −6
6
As (x − 3) ’n faktor van f(x) is, wat is f(3)?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
0
7
Watter heelgetalwaardes moet jy eerste toets wanneer jy ’n moniese derdegraadse polinoom met heelgetalkoëffisiënte (net x³ voor) en konstante term 12 faktoriseer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die faktore van 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
8
Faktoriseer f(x) = 2x³ + x² − 13x + 6 volledig.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(2) = 16 + 4 − 26 + 6 = 0, dus is (x − 2) ’n faktor; 2x³ + x² − 13x + 6 = (x − 2)(2x² + 5x − 3) = (x − 2)(2x − 1)(x + 3)
9
Los op vir x: x³ − 7x + 6 = 0
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
f(1) = 0 → (x − 1)(x² + x − 6) = (x − 1)(x + 3)(x − 2) → x = 1, 2 of −3