Eienskappe van vierhoeke en hulle bewyse — Graad 10 (KABV)

Definisies en volledige lyste van eienskappe vir die parallelogram, reghoek, ruit, vierkant, trapesium en vlieër — sye, hoeke en hoeklyne — plus hoe om te bewys dat ’n vorm ’n parallelogram is.

Ook bekend as: trapesoïed · eienskappe van ’n parallelogram · eienskappe van vierhoeke

Graad 10-meetkunde hou op om jou te vra om vorms te herken en begin jou vra om dinge daaroor te bewys. Dit beteken dat jy elke definisie presies moet ken, en moet weet watter eienskappe jy as ’n rede mag aanhaal.

1Die ses spesiale vierhoeke

Ooreenstemmende merkies toon gelyke sye; gestippelde lyne is die hoeklyne; die vierkantjies merk regte hoeke.

2Parallelogram

Definisie: ’n vierhoek met albei pare teenoorstaande sye ewewydig.

Teenoorstaande sye is gelyk.
Teenoorstaande hoeke is gelyk.
Ko-binnehoeke is supplementêr (tel op tot 180°).
Die hoeklyne halveer mekaar.

3Reghoek, ruit en vierkant

Elkeen hiervan is ’n parallelogram met iets ekstra — dus is elke eienskap van ’n parallelogram outomaties ook vir hulle waar.

Reghoek = parallelogram + alle hoeke 90°. Sy hoeklyne is gelyk (en halveer steeds mekaar).
Ruit = parallelogram + alle sye gelyk. Sy hoeklyne is loodreg en hulle halveer die hoeke.
Vierkant = reghoek + ruit, dus het dit elke eienskap hierbo: gelyke sye, hoeke van 90°, en hoeklyne wat gelyk en loodreg is en die hoeke halveer.

💡

Dink daaraan as ’n stamboom: ’n vierkant is sowel ’n reghoek as ’n ruit, en al drie is parallelogramme. Dus bewys iets wat oor parallelogramme bewys word, dit vir almal tegelyk.

4Trapesium en vlieër

Trapesium = een paar teenoorstaande sye ewewydig. Dit is al — die hoeklyne doen niks spesiaals nie.
Vlieër = twee pare aangrensende sye gelyk. Een hoeklyn is die simmetrie-as: dit halveer die ander hoeklyn loodreg en halveer die twee hoeke waardeur dit gaan.

⚠️

’n Vlieër se hoeklyne halveer nie mekaar nie — net een hoeklyn halveer die ander. Daardie asimmetrie is presies wat eksamenvrae toets.

5Bewys dat ’n vierhoek ’n parallelogram is

Enige een van hierdie vyf is genoeg:

Albei pare teenoorstaande sye is ewewydig (die definisie).
Albei pare teenoorstaande sye is gelyk.
Albei pare teenoorstaande hoeke is gelyk.
Die hoeklyne halveer mekaar.
Een paar teenoorstaande sye is sowel gelyk as ewewydig.

Uitgewerkte voorbeeldIn vierhoek ABCD is AB ∥ DC en AB = DC. Bewys dat ABCD ’n parallelogram is.

1
Stelling: AB ∥ DC (gegee)
Haal elke gegewe feit afsonderlik aan.
2
Stelling: AB = DC (gegee)
3
∴ ABCD is ’n parallelogram (een paar teenoorstaande sye gelyk en ewewydig)
Noem die voorwaarde wat jy gebruik het — die rede dra sy eie punt.

💡

Sit elke bewys uiteen as stelling en dan rede tussen hakies, een per reël, en eindig met ∴ en die gevolgtrekking. Nasieners ken die punte vir die redes apart toe.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Twee ko-binnehoeke van ’n parallelogram is (3x + 10)° en (x + 30)°. Bepaal die waarde van x, en dus die grootte van elke hoek.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ko-binnehoeke van ’n parallelogram tel op tot 180° (1)
4x + 40 = 180 (1)
x = 35 (1)
Die hoeke is 115° en 65° (1)
2
Definieer ’n parallelogram.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Vierhoek met albei pare teenoorstaande sye ewewydig.
3
Watter vierhoek het hoeklyne wat gelyk is EN mekaar halveer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Reghoek (en dus ook ’n vierkant).
4
Watter vierhoek het loodregte hoeklyne wat die hoeke halveer?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Ruit (en dus ook ’n vierkant).
5
Hoeveel pare ewewydige sye het ’n trapesium?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Een
6
Halveer ’n vlieër se hoeklyne mekaar?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee — net een hoeklyn halveer die ander, en dit doen dit loodreg.
7
In parallelogram ABCD is Â = 70°. Bepaal Ĉ en B̂.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ĉ = 70° (teenoorstaande hoeke gelyk); B̂ = 110° (ko-binnehoeke)
8
Noem vyf maniere om te bewys dat ’n vierhoek ’n parallelogram is.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Teenoorstaande sye ewewydig; teenoorstaande sye gelyk; teenoorstaande hoeke gelyk; hoeklyne halveer mekaar; een paar teenoorstaande sye gelyk en ewewydig.
9
Is elke reghoek ’n parallelogram? Is elke parallelogram ’n reghoek?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Ja op die eerste; nee op die tweede.