Gelyktydige lineêre vergelykings — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Twee vergelykings met twee onbekendes oplos deur substitusie en deur eliminasie, wat die oplossing grafies beteken, en die woordprobleme wat na ’n paar vergelykings lei.

Een vergelyking met twee onbekendes het eindeloos baie oplossings. Twee vergelykings pen albei vas — en daar is presies twee metodes wat jy nodig het.

1Wat die antwoord beteken

y = x + 1 en y = −x + 5 sny by (2 ; 3). Daardie enkele punt voldoen terselfdertyd aan albei vergelykings.

Elke vergelyking is ’n reguit lyn, en ’n oplossing is ’n punt wat op albei lyne lê — waar hulle sny. Elke voorbeeld in hierdie les het presies een so ’n punt, wat die gewone eksamengeval is. In die algemeen kan twee lyne ook ewewydig wees (glad geen oplossing nie) of dieselfde lyn wees wat twee keer geskryf is (oneindig baie).

2Metode 1: substitusie

Die beste wanneer een vergelyking reeds x of y alleen het.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: y = x + 1 en y = −x + 5

1
Albei is gelyk aan y, dus stel hulle gelyk: x + 1 = −x + 5.
Vervang die een uitdrukking vir y in die ander.
2
2x = 4, dus x = 2.
Versamel die x-terme.
3
Vervang terug: y = 2 + 1 = 3.
Gebruik die eenvoudiger vergelyking.
4
Oplossing: x = 2 en y = 3, d.w.s. die punt (2 ; 3).
Kontroleer in die ANDER vergelyking: −2 + 5 = 3 ✓

3Metode 2: eliminasie

Die beste wanneer albei vergelykings in die vorm ax + by = c is. Tel die vergelykings bymekaar of trek hulle van mekaar af sodat een letter verdwyn.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 2x + y = 7 en 3x − y = 8

1
Die y-terme is +y en −y, dus TEL die twee vergelykings BYMEKAAR.
Hulle kanselleer mekaar uit.
2
(2x + 3x) + (y − y) = 7 + 8 → 5x = 15.
3
x = 3.
4
Vervang in die eerste: 2(3) + y = 7, dus y = 1.
Oplossing: (3 ; 1). Kontroleer in die tweede: 9 − 1 = 8 ✓

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 3x + 2y = 16 en 5x − 4y = 1

1
Vermenigvuldig die eerste vergelyking met 2: 6x + 4y = 32.
Nou is die y-terme +4y en −4y.
2
Tel op: 11x = 33, dus x = 3.
3
Vervang: 3(3) + 2y = 16 → 2y = 7 → y = 3,5.
Kontroleer: 15 − 14 = 1 ✓

💡

Kontroleer altyd in die vergelyking wat jy NIE vir die substitusie gebruik het nie. As dit klop, is albei waardes reg.

4Woordprobleme

Uitgewerkte voorbeeldTwee penne en drie boeke kos R74. Vier penne en een boek kos R38. Bepaal elke prys.

1
Laat ’n pen x wees en ’n boek y.
Om die onbekendes te benoem, verdien ’n punt.
2
2x + 3y = 74 en 4x + y = 38.
Vertaal elke sin.
3
Vermenigvuldig die tweede met 3: 12x + 3y = 114. Trek die eerste af: 10x = 40, dus x = 4.
Eliminasie.
4
Dan 4(4) + y = 38, dus y = 22.
’n Pen kos R4 en ’n boek R22. Kontroleer: 8 + 66 = 74 ✓

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los op: y = 2x en x + y = 9
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x + 2x = 9 → x = 3, y = 6 → (3 ; 6)
2
Los op: y = x + 4 en y = 2x + 1
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x + 4 = 2x + 1 → x = 3, y = 7
3
Los op: x + y = 10 en x − y = 2
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Tel op: 2x = 12 → x = 6, y = 4
4
Los op: 2x + y = 7 en 3x − y = 8
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Tel op: 5x = 15 → x = 3, y = 1
5
Los op: 3x + 2y = 12 en x − 2y = 4
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Tel op: 4x = 16 → x = 4, y = 0
6
Los op: 2x + 3y = 13 en 4x − y = 5
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 2, y = 3
7
Wat stel die oplossing grafies voor?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die punt waar die twee lyne sny.
8
Drie appels en twee pere kos R16; een appel en een peer kos R6. Bepaal elke prys.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3a + 2p = 16, a + p = 6 → appel R4, peer R2