Gelyktydige vergelykings — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Die oplos van ’n lineêre vergelyking saam met ’n kwadratiese een deur vervanging, waarom daar tot twee oplossingspare is, en wat daardie pare op ’n grafiek beteken.

In Graad 10 was albei vergelykings lineêr en was daar een antwoord. In Graad 11 is een van hulle kwadraties, dus is daar gewoonlik twee pare antwoorde — die twee punte waar ’n lyn ’n kromme sny.

1Die metode: vervang altyd

Maak x of y die onderwerp van die LINEÊRE vergelyking — nooit van die kwadratiese een nie.
Vervang dit in die kwadratiese vergelyking.
Los die kwadratiese vergelyking op wat ontstaan (dit sal tot twee antwoorde hê).
Vervang elke antwoord terug in die lineêre vergelyking om sy maat te vind.
Skryf die antwoorde as pare.

💡

Dit is altyd makliker om die lineêre vergelyking te herrangskik, en dit lewer nooit ’n vierkantswortel nie. As jy eerder die kwadratiese een herrangskik, maak jy vir jouself baie meer werk.

2Uitgewerkte voorbeeld

Uitgewerkte voorbeeldLos gelyktydig op: y = x + 1 en y = x² − 3x + 4

1
Die lineêre vergelyking het reeds y as onderwerp: y = x + 1.
Stap 1 klaar.
2
Vervang: x + 1 = x² − 3x + 4.
Vervang y in die kwadratiese vergelyking.
3
0 = x² − 4x + 3.
Skuif alles na een kant.
4
(x − 1)(x − 3) = 0, dus x = 1 of x = 3.
Faktoriseer.
5
As x = 1: y = 1 + 1 = 2. As x = 3: y = 3 + 1 = 4.
Vervang in die LINEÊRE vergelyking — dit is vinniger en kan nie verkeerd loop nie.
6
(1 ; 2) en (3 ; 4).
Kontroleer (3 ; 4) in die kwadratiese vergelyking: 9 − 9 + 4 = 4. ✓

⚠️

Moenie by x = 1 en x = 3 stop nie. Elke x moet met sy eie y gepaar word. Antwoorde wat as ‘x = 1 of 3’ gelaat word, gooi die helfte van die punte weg.

3Wanneer die vergelykings nog nie gerangskik is nie

Uitgewerkte voorbeeldLos gelyktydig op: x + y = 5 en x² + y² = 17

1
Uit die lineêre: y = 5 − x.
Maak y die onderwerp.
2
x² + (5 − x)² = 17.
Vervang — behou die hakie.
3
x² + 25 − 10x + x² = 17.
(5 − x)² = 25 − 10x + x², nie 25 + x² nie.
4
2x² − 10x + 8 = 0 → x² − 5x + 4 = 0.
Deel deur met 2.
5
(x − 1)(x − 4) = 0, dus x = 1 of x = 4.
6
(1 ; 4) en (4 ; 1).
Albei klop: 1 + 16 = 17 en 16 + 1 = 17. ✓

4Wat die antwoorde beteken

Die oplossingspare is die snypunte van die twee grafieke. Twee pare beteken die lyn sny die kromme twee keer; een paar beteken dit is ’n raaklyn; geen reële oplossing nie beteken hulle ontmoet nooit.

💡

As die kwadratiese vergelyking waarby jy uitkom ’n negatiewe diskriminant het, sê dit in woorde: ‘geen reële oplossings nie, dus sny die grafieke nie’. Daardie sin verdien die punt.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los gelyktydig op: y = x + 1 en y = x² − 3x + 4
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − 4x + 3 = 0 → x = 1 of 3 → (1 ; 2) en (3 ; 4)
2
Los gelyktydig op: y = 2x en y = x² − 3
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → (3 ; 6) en (−1 ; −2)
3
Los gelyktydig op: x + y = 5 en x² + y² = 17
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(1 ; 4) en (4 ; 1)
4
Los gelyktydig op: y − x = 2 en xy = 8
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x(x + 2) = 8 → x² + 2x − 8 = 0 → (x + 4)(x − 2) = 0 → (2 ; 4) en (−4 ; −2)
5
Watter vergelyking moet jy eerste herrangskik, en waarom?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die lineêre een — om ’n veranderlike die onderwerp van ’n lineêre vergelyking te maak, is eenvoudig en bring nooit ’n vierkantswortel in nie.
6
Los gelyktydig op: y = x − 1 en y = x² − 5x + 7
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − 6x + 8 = 0 → (x − 2)(x − 4) = 0 → (2 ; 1) en (4 ; 3)
7
Die oplossings van ’n gelyktydige stelsel is die … van die twee grafieke.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
snypunte
8
Wat beteken dit as die kwadratiese vergelyking wat ontstaan ’n negatiewe diskriminant het?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Daar is geen reële oplossings nie, dus sny die twee grafieke nie.