Sinus-, cosinus- en oppervlakreëls — Graad 11 en 12 (KABV)

Die sinusreël, die cosinusreël en die oppervlakte van ’n driehoek: watter een om te gebruik, en hoe om enige nie-reghoekige driehoek op te los, met uitgewerkte eksamenvoorbeelde.

Ook bekend as: sinusreël · cosinusreël · nie-reghoekige driehoeke · skeefhoekige driehoeke

Die driehoeksverhoudings sin, cos en tan werk slegs in ’n reghoekige driehoek. Vir enige ander driehoek het jy hierdie drie reëls nodig.

1Watter reël gebruik ek?

Sinusreël — wanneer jy ’n hoek teenoor ’n bekende sy het (twee hoeke en ’n sy, of twee sye en ’n hoek wat nie ingesluit is nie).
Cosinusreël — wanneer jy drie sye het, of twee sye en die hoek tussen hulle.
Oppervlakreël — wanneer jy twee sye en die hoek tussen hulle het en die oppervlakte soek.

💡

Vinnige toets: as ’n sy en sy teenoorstaande hoek albei bekend is, gryp na die sinusreël. Indien nie, is dit die cosinusreël.

2Die sinusreël

a/(sin A) = b/(sin B) = c/(sin C)

Kleinletter a is die sy teenoor hoek A. Draai dit onderstebo wanneer jy vir ’n hoek oplos.

In △ABC is Â = 40°, B̂ = 75° en AC = 12 eenhede.

Uitgewerkte voorbeeldBereken BC in die driehoek hierbo

1
BC is teenoor Â, en AC (=12) is teenoor B̂.
Pas eers elke sy by sy teenoorstaande hoek.
2
BC/(sin 40°) = 12/(sin 75°).
Sinusreël.
3
BC = (12 sin 40°)/(sin 75°).
4
= 7,99 eenhede.
Korter as 12, en dit is teenoor die kleiner hoek. Sinvol.

⚠️

Die dubbelsinnige geval. Wanneer jy die sinusreël gebruik om ’n HOEK te bepaal uit twee sye en ’n hoek wat nie ingesluit is nie, gee sin B jou ’n skerp hoek B — maar 180° − B het dieselfde sinus. Kontroleer of 180° − B ook by die gegewe hoek pas (die drie hoeke moet steeds saam minder as 180° wees). As dit pas, is twee verskillende driehoeke moontlik; ’n skets of die vraag sal vir jou sê watter een bedoel word.

3Die cosinusreël

a² = b² + c² − 2bc·cos A

en vir ’n hoek: cos A = (b² + c² − a²)/2bc

Dit is Pythagoras met ’n korreksieterm. As A = 90°, dan is cos A = 0 en dit val terug na a² = b² + c².

In △ABC is AC = 8 eenhede, AB = 5 eenhede en Â = 60°.

Uitgewerkte voorbeeldBereken BC in die driehoek hierbo

1
BC² = 8² + 5² − 2(8)(5)cos 60°.
BC is teenoor die bekende hoek A.
2
= 64 + 25 − 80(0,5).
cos 60° = 0,5.
3
= 89 − 40 = 49.
4
BC = 7 eenhede.
√49 = presies 7.

⚠️

Moenie eers b² + c² − 2bc uitwerk en dit dan met cos A vermenigvuldig nie. Die hele term 2bc·cos A is een produk — vermenigvuldig al drie, en trek dit dan van b² + c² af.

4Die oppervlakreël

Oppervlakte van △ABC = 1/2·ab·sin C

Die twee sye moet die hoek insluit. Enige paar werk, solank die hoek tussen hulle lê.

Uitgewerkte voorbeeldBereken die oppervlakte van die driehoek met AC = 8, AB = 5 en Â = 60°

1
Oppervlakte = 1/2(8)(5)sin 60°.
Â lê tussen AC en AB.
2
= 20 × 0,8660.
3
= 17,32 vierkante eenhede.

5Bewys van die drie reëls

Die ATP sê bewys en pas toe. ’n Bewys is eksamineerbaar en tot vyf punte werd, en al drie begin op dieselfde manier: laat ’n loodlyn vanaf een hoekpunt op die teenoorstaande sy neer, wat twee reghoekige driehoeke skep wat jy reeds kan hanteer.

Uitgewerkte voorbeeldBewys die OPPERVLAKREËL: oppervlakte van △ABC = ½ · ab · sin C

1
Konstruksie: trek AD ⊥ BC, met D op BC. Laat AD = h.
Die hoogte is wat die gewone oppervlakteformule nodig het.
2
Oppervlakte van △ABC = ½ × BC × h = ½ · a · h
½ × basis × ⊥ hoogte
3
In reghoekige △ADC: sin C = h/b
Sinus is teenoorstaande gedeel deur skuinssy — b is die skuinssy AC.
4
∴ h = b sin C
Maak h die onderwerp.
5
Oppervlakte = ½ · a · b sin C
Vervang terug.

Uitgewerkte voorbeeldBewys die SINUSREËL: a/(sin A) = b/(sin B)

1
Konstruksie: trek CD ⊥ AB, met D op AB. Laat CD = h.
2
In △ACD: sin A = h/b, dus h = b sin A
3
In △BCD: sin B = h/a, dus h = a sin B
Dieselfde h, uit die ander driehoek.
4
∴ b sin A = a sin B
Albei is gelyk aan h.
5
Deel albei kante deur sin A · sin B: b/(sin B) = a/(sin A)

Uitgewerkte voorbeeldBewys die COSINUSREËL: a² = b² + c² − 2bc cos A

1
Konstruksie: trek CD ⊥ AB met D op AB. Laat AD = x, dus DB = c − x, en CD = h.
Om die twee dele van AB te benoem, is die sleutelstap.
2
In △ACD: b² = x² + h² (Pythagoras) en cos A = x/b, dus x = b cos A
3
In △BCD: a² = (c − x)² + h²
Pythagoras in die tweede driehoek.
4
a² = c² − 2cx + x² + h²
Brei uit.
5
Maar x² + h² = b², dus a² = c² − 2cx + b²
Vervang uit die eerste driehoek.
6
a² = b² + c² − 2bc cos A
Vervang x met b cos A.

💡

Al drie bewyse begin met “konstrueer die loodlyn” en eindig deur h te elimineer. As jy net dit onthou, kan jy enigeen van hulle onder eksamendruk herbou.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
In △ABC is Â = 40°, B̂ = 75° en AC = 12 eenhede. Bereken die lengte van BC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
BC/(sin 40°) = 12/(sin 75°) → BC = 7,99 eenhede
2
In △ABC is AC = 8 eenhede, AB = 5 eenhede en Â = 60°. Bereken die lengte van BC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
BC² = 64 + 25 − 80cos60° = 49 → BC = 7 eenhede
3
Bereken die oppervlakte van △ABC as AC = 8 eenhede, AB = 5 eenhede en Â = 60°.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2(8)(5)sin 60° = 17,32 vierkante eenhede
4
Watter reël sou jy gebruik as drie sye en geen hoeke gegee is nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die cosinusreël, herrangskik as cos A = (b² + c² − a²)/2bc
5
Watter reël sou jy gebruik as twee hoeke en een sy gegee is?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die sinusreël
6
Skryf die oppervlakreël vir △PQR neer met die sye p en q.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Oppervlakte = 1/2·pq·sin R
7
In △ABC is a = 7, b = 8, c = 5. Bereken Â tot een desimale plek.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
cos A = (64 + 25 − 49)/(2(8)(5)) = 40/80 = 0,5 → Â = 60,0°
8
Waarom kan die driehoeksverhoudings sin, cos en tan nie direk in △ABC hierbo gebruik word nie?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit is nie reghoekig nie — daardie verhoudings is slegs vir reghoekige driehoeke gedefinieer.
9
Bewys dat die oppervlakte van △ABC = ½ab sin C.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Trek AD ⊥ BC, AD = h ✓; oppervlakte = ½ × a × h ✓; in △ADC is sin C = h/b dus h = b sin C ✓; ∴ oppervlakte = ½ab sin C ✓
10
Bewys die sinusreël vir △ABC.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Trek CD ⊥ AB, CD = h ✓; in △ACD is h = b sin A ✓; in △BCD is h = a sin B ✓; ∴ b sin A = a sin B ✓; deling deur sin A sin B gee a/(sin A) = b/(sin B) ✓
11
Watter enkele konstruksie begin die bewys van al drie reëls?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Laat ’n loodlyn vanaf een hoekpunt op die teenoorstaande sy neer ✓, wat twee reghoekige driehoeke skep ✓