Kwadratiese vergelykings oplos — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Al die maniere om ’n kwadratiese vergelyking op te los — faktorisering, vierkantsvoltooiing, die formule, eers herrangskik, ’n leidende koëffisiënt, en kwadratiese vergelykings wat in breuke versteek is — met ’n uitgewerkte voorbeeld vir elkeen en ’n volledige werkblad.

’n Kwadratiese vergelyking het die vorm ax² + bx + c = 0 (hoogste mag 2). Hierdie gids dek al drie metodes en die maniere waarop Graad 11-eksamens hulle kombineer. Die volgorde om te probeer: (1) kry een kant = 0, (2) faktoriseer as jy kan, (3) gebruik andersins die formule — tensy die vraag sê jy moet die vierkant voltooi, wat ’n metode op sy eie is en waar die formule vandaan kom.

1Metode 1: Faktorisering (die nulproduk-reël)

As ’n produk gelyk is aan nul, moet ten minste een faktor nul wees. Faktoriseer dus, stel elke hakie gelyk aan nul, en los op.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 1: x² − 5x + 6 = 0

1
Faktoriseer: twee getalle met ’n produk van 6 en ’n som van −5 → −2 en −3 → (x − 2)(x − 3) = 0.
Standaardfaktorisering van ’n drieterm.
2
Stel elke hakie gelyk aan nul: x − 2 = 0 of x − 3 = 0.
Nulproduk-reël.
3
x = 2 of x = 3.
’n Kwadratiese vergelyking het gewoonlik twee oplossings.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 2: gemeenskaplike faktor: x² − 7x = 0

1
Haal x: x(x − 7) = 0.
Moenie deur x deel nie — jy sou die wortel x = 0 verloor.
2
x = 0 of x − 7 = 0.
Nulproduk-reël.
3
x = 0 of x = 7.
Albei is geldige wortels.

2Metode 2: Die kwadratiese formule

Wanneer dit nie faktoriseer nie, gebruik die formule (op jou inligtingsblad). Dit werk vir elke kwadratiese vergelyking.

x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a (a ≠ 0)

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 3: 2x² + 3x − 1 = 0 (faktoriseer nie)

1
a = 2, b = 3, c = −1.
Vergelyk met ax² + bx + c = 0.
2
x = (−3 ± √(9 + 8))/4 = (−3 ± √17)/4.
b² − 4ac = 9 − 4(2)(−1) = 17.
3
x ≈ 0,28 of x ≈ −1,78.
Werk die + en die − weergawe uit; rond af tot 2 desimale plekke.

3Metode 3: Vierkantsvoltooiing

Die ATP plaas hierdie een eerste in Graad 11 — “1. Voltooi die vierkant” — en met goeie rede: dit is waar die kwadratiese formule self vandaan kom, dit is waarmee die draaipunt van ’n parabool bepaal word, en ’n eksamen sal jou soms opdrag gee om dit te gebruik. Die idee is om die linkerkant in ’n volkome vierkant te dwing, sodat een vierkantswortel die werk klaarmaak.

1. Kry x² alleen voor (deel deur a as dit nie 1 is nie).
2. Skuif die konstante na regs.
3. Halveer die koëffisiënt van x, kwadreer dit, en tel dit by albei kante.
4. Skryf die linkerkant as (x + p)² en trek die vierkantswortel — onthou ±.

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 4: los x² + 6x + 5 = 0 op met vierkantsvoltooiing

1
x² + 6x = −5
Skuif eers die konstante oor.
2
Die helfte van 6 is 3, en 3² = 9. Tel 9 by ALBEI kante: x² + 6x + 9 = −5 + 9 = 4
Om net by een kant by te tel, verander die vergelyking.
3
(x + 3)² = 4
Die linkerkant is nou ’n volkome vierkant, en die 3 is die helfte wat jy geneem het.
4
x + 3 = ±2
Trek die vierkantswortel van albei kante — albei tekens, anders verloor jy ’n wortel.
5
x = −1 of x = −5
Kontroleer deur te faktoriseer: (x + 1)(x + 5) = 0 ✓

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 5: los 2x² + 8x + 3 = 0 op, korrek tot TWEE desimale plekke

1
Deel elke term deur 2: x² + 4x + 1,5 = 0
Die metode het ’n koëffisiënt van 1 voor x² nodig. Deel die HELE vergelyking, nie net twee terme nie.
2
x² + 4x = −1,5
Konstante na regs.
3
Die helfte van 4 is 2, en 2² = 4: x² + 4x + 4 = −1,5 + 4 = 2,5
Tel 4 by albei kante.
4
(x + 2)² = 2,5, dus x + 2 = ±√2,5
√2,5 ≈ 1,5811 — hou dit in die sakrekenaar.
5
x ≈ −0,42 of x ≈ −3,58
Die formule gee dieselfde twee wortels: b² − 4ac = 64 − 24 = 40 ✓

💡

Dieselfde vier stappe herskryf ’n uitdrukking in die vorm (x + p)² + q sonder om iets op te los — en daardie vorm gee jou dadelik die draaipunt van die parabool y = (x + p)² + q. Dieselfde werk, twee verskillende vrae.

⚠️

Twee punte gaan hier meer as op enige ander plek verlore. Om die kwadraat by net een kant by te tel — wat jy ook al links bytel, moet regs bygetel word. En om die ± weg te laat wanneer jy die vierkantswortel trek, wat een van die twee wortels weggooi. ’n Derde: met 2x² + 8x + 3 = 0 moet jy die hele vergelyking deur 2 deel, die 3 ingesluit.

4Tipe 4: Herrangskik eers na standaardvorm

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 6: x² = 3x + 10

1
Skuif alles na een kant: x² − 3x − 10 = 0.
Die vergelyking moet gelyk aan 0 wees voordat jy oplos.
2
Faktoriseer: (x − 5)(x + 2) = 0.
Produk −10, som −3 → −5 en +2.
3
x = 5 of x = −2.

5Tipe 5: ’n Leidende koëffisiënt

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 7: 3x² − 10x + 8 = 0

1
ac = 24; twee getalle met ’n produk van 24 en ’n som van −10 → −6 en −4.
Die ac-metode vir faktorisering wanneer a ≠ 1.
2
Verdeel: 3x² − 6x − 4x + 8 = 3x(x − 2) − 4(x − 2) = (x − 2)(3x − 4).
Faktoriseer deur groepering.
3
x = 2 of 3x − 4 = 0 → x = 4/3.

6Tipe 6: Kwadratiese vergelykings wat in breuke versteek is

Uitgewerkte voorbeeldVoorbeeld 8: x + 6/x = 5

1
Vermenigvuldig elke term met x: x² + 6 = 5x.
Verwyder die breuk (let op x ≠ 0).
2
Herrangskik: x² − 5x + 6 = 0.
Standaardvorm.
3
(x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 of x = 3.
Albei is nie nul nie, dus is albei geldig.

💡

Maak altyd eers een kant nul, en probeer dan faktoriseer voor die formule. Moenie albei kante deur x deel wanneer x 0 kan wees nie — jy verloor die wortel x = 0; haal eerder x as gemeenskaplike faktor uit.

⚠️

Moenie ’n oplossing verloor nie. ’n Kwadratiese vergelyking het gewoonlik twee antwoorde — om net een te skryf, is ’n algemene manier om punte te verloor. En kontroleer enige beperkings (soos x ≠ 0) wanneer jy ’n breuk uitvermenigvuldig het.

Kwadratiese vergelykings loop deur funksies, differensiaalrekening en meetkunde, dus betaal vaardigheid hier oral. Werk elke soort in die werkblad deur.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Los op: x² − 7x + 12 = 0. (faktoriseer)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 3)(x − 4)=0 → x = 3 of 4
2
Los op: x² + 2x − 8 = 0. (faktoriseer)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x + 4)(x − 2)=0 → x = −4 of 2
3
Los op: x² − 9x = 0. (gemeenskaplike faktor)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x(x − 9)=0 → x = 0 of 9
4
Los op: x² − 16 = 0. (verskil van twee kwadrate)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(x − 4)(x + 4)=0 → x = ±4
5
Los op: x² + 4x + 1 = 0 (formule, 2 desimale plekke). (formule)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = (−4±√12)/2 ≈ −0,27 of −3,73
6
Los op: 2x² − 5x + 1 = 0 (formule, 2 desimale plekke). (formule)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = (5±√17)/4 ≈ 2,28 of 0,22
7
Los x² + 8x − 9 = 0 op deur die vierkant te voltooi. (vierkantsvoltooiing)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² + 8x = 9; die helfte van 8 is 4 en 4² = 16, dus x² + 8x + 16 = 9 + 16 = 25; (x + 4)² = 25; x + 4 = ±5 → x = 1 of x = −9
8
Los 3x² − 12x + 5 = 0 op deur die vierkant te voltooi, korrek tot TWEE desimale plekke. (vierkantsvoltooiing)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
÷ 3: x² − 4x + 5/3 = 0 → x² − 4x = −5/3; tel 4 by: (x − 2)² = 7/3; x − 2 = ±1,5275 → x ≈ 3,53 of x ≈ 0,47
9
Skryf x² − 10x + 3 in die vorm (x + p)² + q. (vierkantsvoltooiing)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die helfte van −10 is −5 en (−5)² = 25, dus x² − 10x + 3 = (x − 5)² − 25 + 3 = (x − 5)² − 22
10
Los op: x² = 2x + 15. (herrangskik)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − 2x − 15=0 → (x − 5)(x + 3)=0 → x = 5 of −3
11
Los op: 2x² + 7x + 3 = 0. (leidende koëff.)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(2x + 1)(x + 3)=0 → x = −1/2 of −3
12
Los op: x + 5/x = 6. (breuk)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − 6x + 5=0 → (x − 1)(x − 5)=0 → x = 1 of 5
13
Los op: (x − 2)(x + 1) = 4. (brei eers uit)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x² − x − 2=4 → x² − x − 6=0 → (x − 3)(x + 2)=0 → x = 3 of −2