Spesiale hoeke, omgekeerde verhoudings en trigonometriese vergelykings — Graad 10

Die presiese waardes vir 0°, 30°, 45°, 60° en 90° sonder ’n sakrekenaar, die omgekeerde verhoudings cosec, sec en cot, en die oplos van eenvoudige trigonometriese vergelykings vir hoeke tussen 0° en 90°.

1Die omgekeerde verhoudings

cosec θ = 1/(sin θ) · sec θ = 1/(cos θ) · cot θ = 1/(tan θ)
Elkeen is ongedefinieerd waar die verhouding onder die streep 0 is — cosec 0° en cot 0° bestaan nie, en sec 90° ook nie.

💡

Die paring is nie wat jy sou raai nie: sec gaan saam met cos, en cosec gaan saam met sin. Pas die derde letter: cosec ↔ sin.

Hierdie drie word net in Graad 10 geëksamineer, dus leer hulle nou — hulle kom in Kwartaal 1 voor en dan nie weer nie.

2Die spesiale hoeke

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	1/(√2)	(√3)/2	1
cos	1	(√3)/2	1/(√2)	1/2	0
tan	0	1/(√3)	1	√3	ongedef.

💡

Let op dat die sin-ry agteruit gelees die cos-ry is. Leer een ry en jy kry die ander verniet.

Uitgewerkte voorbeeldEvalueer sin 30° + cos 60° sonder ’n sakrekenaar

1
sin 30° = 1/2 en cos 60° = 1/2.
Uit die tabel.
2
1/2 + 1/2 = 1.

Uitgewerkte voorbeeldEvalueer tan 60° × cos 30° sonder ’n sakrekenaar

1
tan 60° = √3 en cos 30° = (√3)/2.
2
√3 × (√3)/2 = 3/2.
√3 × √3 = 3.
3
= 3/2 of 1,5.

3Eenvoudige trigonometriese vergelykings oplos (0° tot 90°)

Uitgewerkte voorbeeldLos 2 sinθ = 1 op vir θ ∈ [0° ; 90°]

1
Isoleer eers die verhouding: sinθ = 1/2.
Kry sinθ alleen voordat jy aan die hoek raak.
2
θ = sin⁻¹(1/2).
3
θ = 30°.
Uit die tabel van spesiale hoeke — geen sakrekenaar nodig nie.

⚠️

2 sinθ = 1 beteken nie sin(2θ) = 1 nie. Die 2 vermenigvuldig die hele verhouding, dus deel eers daardeur.

Uitgewerkte voorbeeldLos 3 tanθ − 3 = 0 op vir θ ∈ [0° ; 90°]

1
3 tanθ = 3, dus tanθ = 1.
2
θ = tan⁻¹(1) = 45°.

Uitgewerkte voorbeeldLos cos 2θ = 0,5 op vir θ ∈ [0° ; 90°]

1
Hier IS die 2 aan die hoek gekoppel.
Hanteer 2θ as een geheel.
2
2θ = cos⁻¹(0,5) = 60°.
3
θ = 30°.
Deel heel aan die einde deur 2, nie aan die begin nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die waarde van sin 30° neer sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2
2
Evalueer sin 30° + cos 60° sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2 + 1/2 = 1
3
Evalueer tan 60° × cos 30° sonder om ’n sakrekenaar te gebruik.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√3 × (√3)/2 = 3/2
4
Skryf die waarde van cosec30° neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/(sin 30°) = 1/(1/2) = 2
5
Skryf sec60° neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/(cos 60°) = 2
6
Skryf cot45° neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/(tan 45°) = 1
7
Los op vir θ as 2 sinθ = 1 en θ ∈ [0° ; 90°].
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
sinθ = 1/2 → θ = 30°
8
Los op vir θ as 3 tanθ − 3 = 0 en θ ∈ [0° ; 90°].
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
tanθ = 1 → θ = 45°
9
Los op vir θ as cos 2θ = 0,5 en θ ∈ [0° ; 90°].
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2θ = 60° → θ = 30°
10
Waarom is tan 90° ongedefinieerd?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
tanθ = sinθ/cosθ en cos 90° = 0, dus sou dit deling deur nul beteken.