Wortelvorme — Graad 11 Wiskunde (KABV)

Die vereenvoudiging van wortelvorme met faktore wat volkome vierkante is, die optel en aftrek van gelyksoortige wortelvorme, die uitvermenigvuldiging daarvan, die rasionalisering van ’n noemer met die toegevoegde, en die oplos van vergelykings wat ’n wortelvorm bevat — insluitend die kontrole vir vreemde wortels wat punte kos.

’n Wortelvorm is ’n wortel wat nie tot ’n rasionale getal vereenvoudig kan word nie, soos √2 of √18. Graad 11 vra dat jy hulle in eenvoudigste vorm skryf en, wat belangrik is, hulle uit ’n noemer verwyder.

1’n Wortelvorm vereenvoudig

√ab = √a × √b · √(a/b) = (√a)/(√b)

Wanneer die wette gebruik mag word. Oor die reële getalle vereis √ab = √a × √b dat a ≥ 0 en b ≥ 0, en die kwosiëntwet vereis a ≥ 0 en b > 0 — ’n vierkantswortel van ’n negatiewe getal is nie ’n reële getal nie, en niks mag deur 0 gedeel word nie. Elke wortelvorm in Graad 11 voldoen hieraan, maar sê so wanneer ’n vraag letters gebruik.

Soek die grootste volkome vierkant wat in die getal deel, en verdeel dan die wortel.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig √72

1
Bepaal die grootste faktor van 72 wat ’n volkome vierkant is: 36.
72 = 36 × 2.
2
√72 = √36 × √2.
Verdeel die wortel oor die produk.
3
= 6√2.
√36 = presies 6.

⚠️

’n Kleiner faktor werk steeds, maar neem langer: √72 = √4 × √18 = 2√18, wat dan weer vereenvoudig moet word. Soek altyd eers die grootste vierkant.

2Optel en aftrek

Wortelvorme gedra hulle soos gelyksoortige terme: jy kan hulle slegs optel of aftrek sodra die wortelvormdeel ooreenstem.

Uitgewerkte voorbeeldVereenvoudig 3√2 + √50

1
Vereenvoudig die tweede: √50 = √25 × √2 = 5√2.
Nou bevat albei terme √2.
2
3√2 + 5√2 = 8√2.
Tel die koëffisiënte op, behou die wortelvorm.

⚠️

√a + √b is nie √(a + b) nie. Kontroleer dit: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, maar √25 = 5.

3Vermenigvuldig

Uitgewerkte voorbeeldBrei uit: (√3 + 2)(√3 − 5)

1
√3 × √3 = 3.
’n Wortel maal homself gee die getal.
2
−5√3 + 2√3 = −3√3.
Versamel die wortelvormterme.
3
2 × (−5) = −10.
4
= 3 − 3√3 − 10 = −7 − 3√3.

4Die noemer rasionaliseer

’n Finale antwoord mag nie ’n wortelvorm in die noemer hê nie. Vermenigvuldig bo en onder met wat ook al dit verwyder — dit verander die vorm, nie die waarde nie.

Uitgewerkte voorbeeldRasionaliseer 6/(√3)

1
Vermenigvuldig bo en onder met √3.
Vermenigvuldiging met (√3)/(√3) = 1 laat die waarde onveranderd.
2
(6√3)/3.
√3 × √3 = 3.
3
= 2√3.
Vereenvoudig die breuk.

5Die toegevoegde (twee terme in die noemer)

Die toegevoegde van a + √b is a − √b
(a + √b)(a − √b) = a² − b

Uitgewerkte voorbeeldRasionaliseer 4/(1 + √2)

1
Vermenigvuldig bo en onder met die toegevoegde 1 − √2.
’n Verskil van twee kwadrate verwyder die wortelvorm.
2
Noemer: (1)² − (√2)² = 1 − 2 = −1.
3
Teller: 4(1 − √2) = 4 − 4√2.
4
= (4 − 4√2)/−1 = −4 + 4√2.
Deel deur met −1.

💡

Slegs die teken tussen die terme verander in ’n toegevoegde. Dit werk omdat dit ’n verskil van twee kwadrate skep, en kwadrering van ’n wortel verwyder dit.

6’n Vergelyking oplos wat ’n wortelvorm bevat

Die ATP noem “los eenvoudige vergelykings met wortelvorme op” as ’n vaardigheid op sy eie. Die metode is kort — kry die wortel alleen, en kwadreer dan albei kante — maar dit dra ’n strik wat punte kos in elke vraestel waarin dit verskyn.

As √A = B, dan is A = B² — maar slegs waar B ≥ 0

Die voorwaarde maak saak omdat ’n vierkantswortel nooit negatief is nie. √x = −3 het glad geen oplossing nie: geen getal wat jy kwadreer, gee ’n negatiewe wortel nie. Om albei kante te kwadreer, sou x = 9 “gee”, wat eenvoudig verkeerd is.

Stap 1 — isoleer. Kry die wortelvorm op sy eie voordat jy enigiets kwadreer.
Stap 2 — kwadreer albei kante. Kwadreer die hele kant, nie elke term nie.
Stap 3 — los die vergelyking op wat oorbly (dikwels ’n kwadratiese vergelyking).
Stap 4 — KONTROLEER elke antwoord in die OORSPRONKLIKE vergelyking. Hierdie stap is nie opsioneel nie en is gewoonlik ’n punt werd.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: 3√x − 2 = 10

1
3√x = 12
Isoleer eers die wortelvorm — tel 2 by albei kante.
2
√x = 4
Deel deur 3. Die wortel is nou alleen.
3
x = 16
Kwadreer albei kante.
4
Kontroleer: 3 × 4 − 2 = 10 ✓
Vervang terug in die oorspronklike vergelyking.

7Waarom jy moet kontroleer: vreemde wortels

Kwadrering is nie omkeerbaar nie. Beide 2 en −2 gee 4 wanneer dit gekwadreer word, dus kan die kwadrering van ’n vergelyking ’n oplossing skep wat die oorspronklike vergelyking nooit gehad het nie. So ’n waarde word ’n vreemde wortel genoem, en jy vind dit slegs deur terug te vervang.

Uitgewerkte voorbeeldLos op: √(x + 2) = x

1
x + 2 = x²
Kwadreer albei kante. Die wortelvorm is reeds alleen.
2
x² − x − 2 = 0
Skryf die kwadratiese vergelyking in standaardvorm.
3
(x − 2)(x + 1) = 0, dus x = 2 of x = −1
Faktoriseer en los op.
4
Kontroleer x = 2: LK = √4 = 2, RK = 2 ✓
Hierdie een werk.
5
Kontroleer x = −1: LK = √1 = 1, RK = −1 ✗
’n Wortel is nooit negatief nie, dus faal dit.
6
∴ slegs x = 2
x = −1 is ’n vreemde wortel wat deur die kwadrering geskep is.

💡

As die regterkant die veranderlike bevat, verwag ’n vreemde wortel en laat plek vir die kontrole. ’n Kwadratiese vergelyking wat twee antwoorde gee waarvan een negatief is terwyl die regterkant positief moet wees, is die standaard eksamenopstelling.

⚠️

Om term vir term te kwadreer. (√x + 1)² is nie x + 1 nie — dit is x + 2√x + 1. Kwadreer die hele kant as een hakie, of isoleer eers die wortelvorm sodat jy dit nooit hoef te doen nie.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Vereenvoudig √72
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
6√2
2
Vereenvoudig √50
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
5√2
3
Vereenvoudig √98
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
7√2
4
Vereenvoudig √12 + √27
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2√3 + 3√3 = 5√3
5
Vereenvoudig 3√2 + √50
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
8√2
6
Vereenvoudig √5 × √20
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
√100 = 10
7
Brei uit: (√3 + 2)(√3 − 5)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−7 − 3√3
8
Rasionaliseer 6/(√3)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2√3
9
Rasionaliseer 1/(√5)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
(√5)/5
10
Rasionaliseer 4/(1 + √2)
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−4 + 4√2
11
Los op vir x: √(x − 4) = 5
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x − 4 = 25 ✓; x = 29 ✓; kontroleer: √25 = 5 ✓
12
Los op vir x: 2√x + 1 = 9
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2√x = 8 ✓; √x = 4 ✓; x = 16 ✓
13
Los op vir x: √(x + 6) = x, en verwerp enige ongeldige antwoord met ’n rede.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x + 6 = x² ✓; x² − x − 6 = 0, dus (x − 3)(x + 2) = 0 ✓; x = 3 of x = −2 ✓; x = −2 word verwerp omdat √4 = 2, nie −2 nie, dus x = 3 ✓
14
Verduidelik waarom √(x + 1) = −3 geen oplossing het nie.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Vierkantswortel is nooit negatief nie ✓; dus kan geen waarde van x die linkerkant gelyk aan −3 maak nie ✓