Driedimensionele trigonometrie — Graad 12 Wiskunde (KABV)

Die toepassing van die sinus-, cosinus- en oppervlakreël op probleme in drie dimensies — hoe om die regte driehoek te kies om in te werk, eers die gedeelde sy te vind, en dan die vraag te beantwoord.

’n 3D-vraag is eintlik twee 2D-driehoeke wat deur ’n gedeelde sy verbind word. Vind daardie gedeelde sy in een driehoek en dra dit dan oor na die ander. Niks nuuts is nodig buiten die sinus-, cosinus- en oppervlakreël nie.

1Die metode

Identifiseer die horisontale driehoek en die vertikale een.
Vind die sy wat hulle deel — dit is byna altyd die eerste ding om te bereken.
Werk eers in die horisontale driehoek (dit het gewoonlik die meeste inligting).
Dra die gedeelde sy oor na die vertikale driehoek en voltooi met basiese SOHCAHTOA.

💡

Hoogtehoeke word vanaf die horisontaal gemeet. As ’n paal vertikaal is, het die driehoek wat dit bevat ’n 90° by sy basis — dus is daardie driehoek reghoekig en werk SOHCAHTOA daar.

AB is ’n vertikale paal. B, C en D lê in dieselfde horisontale vlak, met BD̂C = 40°, BĈD = 65° en CD = 30 m. Die hoogtehoek van A vanaf C is 32°.

Uitgewerkte voorbeeldBereken die hoogte van die paal AB in die diagram hierbo

1
Werk eers in die horisontale driehoek BCD.
Dit het twee hoeke en ’n sy — genoeg vir die sinusreël.
2
DB̂C = 180° − 40° − 65° = 75°.
Hoeke van ’n driehoek.
3
BC/(sin 40°) = 30/(sin 75°).
BC is teenoor die 40°; CD (=30) is teenoor die 75°.
4
BC = (30 sin 40°)/(sin 75°) = 19,96 m.
Dit is die gedeelde sy.
5
Nou die vertikale driehoek ABC: AB̂C = 90° omdat AB vertikaal is.
Die paal ontmoet die horisontale vlak teen ’n regte hoek.
6
tan 32° = AB/BC, dus AB = 19,96 × tan 32°.
SOHCAHTOA — die hoogtehoek is by C.
7
AB = 12,47 m.
Korter as BC, wat reg is vir ’n hoogtehoek van 32°. Sinvol.

⚠️

Moenie probeer om die sinusreël op die hele 3D-figuur gelyktydig toe te pas nie. Dit werk slegs binne ’n enkele plat driehoek. Verdeel die probleem in die horisontale een en die vertikale een.

2Wanneer die gedeelde sy in albei driehoeke onbekend is

As geen driehoek alleen opgelos kan word nie, laat die gedeelde sy x wees, skryf dit op twee maniere en stel hulle gelyk — of vind dit in terme van die gegewe letters uit een driehoek en dra daardie uitdrukking oor na die ander. Dit lewer die algemene uitdrukkings wat Vraestel 2 jou vra om 'aan te toon'.

Uitgewerkte voorbeeldAB is ’n vertikale toring met hoogte h. B, C en D lê in dieselfde horisontale vlak, BĈD = α, BD̂C = β, CD = p en die hoogtehoek van A vanaf C is θ. Toon aan dat h = (p sin β tan θ)/(sin(α + β)).

1
In △BCD: CB̂D = 180° − (α + β).
Hoeke van ’n driehoek. BC is die gedeelde sy, en dit is in albei driehoeke onbekend.
2
Sinusreël: BC/(sin β) = p/(sin[180° − (α + β)]), dus BC = (p sin β)/(sin(α + β)).
sin(180° − x) = sin x. BC is nou in die gegewe letters geskryf.
3
In △ABC, reghoekig by B: tan θ = h/BC, dus h = BC tan θ = (p sin β tan θ)/(sin(α + β)).
Dra die uitdrukking vir BC oor na die vertikale driehoek — stop hier: die uitdrukking IS die antwoord.

💡

In ’n 'toon aan dat'-vraag werk jy na die gedrukte antwoord toe en stop wanneer jy dit bereik. Moenie aangaan en ’n desimaal lewer nie — die uitdrukking is die antwoord.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Bereken die grootte van DB̂C in die diagram hieronder.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
180° − 40° − 65° = 75°
2
Bereken die lengte van BC in die diagram hieronder.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
BC/(sin 40°) = 30/(sin 75°) → BC = 19,96 m
3
Bereken die hoogte van die paal AB in die diagram hieronder.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
AB = BC tan 32° = 19,96 × tan 32° = 12,47 m
4
Waarom is AB̂C = 90° in die diagram hieronder?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Omdat AB vertikaal is en BC in die horisontale vlak lê.
5
Watter driehoek moet jy eerste oplos in ’n 3D-probleem?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Die een met die meeste inligting — gewoonlik die horisontale driehoek — sodat jy die gedeelde sy kan vind.
6
Vanaf watter rigting word ’n hoogtehoek gemeet?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Vanaf die horisontaal.
7
Bereken die oppervlakte van △BCD as BC = 19,96 m, CD = 30 m en BĈD = 65°.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
1/2(19,96)(30)sin 65° = 271,35 m²
8
Kan die sinusreël op ’n driedimensionele figuur as geheel toegepas word?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Nee — dit geld slegs binne ’n enkele plat driehoek, dus moet die figuur opgedeel word.