Trigonometriese grafieke — Graad 10 Wiskunde (KABV)

Die vorms van y = sin x, y = cos x en y = tan x op [0° ; 360°], en wat a en q doen in y = a sin x + q — amplitude, vertikale skuif, waardeversameling en asimptote.

1Die twee golfgrafieke

y = sin x en y = cos x op [0° ; 360°]. Albei het amplitude 1 en periode 360°.

y = sin x begin by 0, bereik ’n piek by 90°, is terug by 0 by 180°, minimum by 270°.
y = cos x begin by 1, sny by 90°, minimum by 180°, terug by 1 by 360°.
Albei het amplitude 1, periode 360° en waardeversameling −1 ≤ y ≤ 1.

💡

cos is net sin wat 90° na links geskuif is. As jy die een kan teken, kan jy die ander teken.

2Die effek van a — amplitude

y = 2 sin x bereik 2 en −2: die amplitude verdubbel, die periode verander nie.

Vir y = a sin x + q: amplitude = |a|

’n Negatiewe a reflekteer die grafiek in die x-as. y = −sin x begin deur af te gaan in plaas van op.

3Die effek van q — vertikale skuif

y = cos x + 1 is die hele cosinusgrafiek 1 eenheid op geskuif.

y = a sin x + q ⇒ waardeversameling: q − |a| ≤ y ≤ q + |a|

Uitgewerkte voorbeeldVir y = 2 sin x + 1, gee die amplitude, periode en waardeversameling

1
Amplitude = |2| = 2.
2
Periode = 360°.
Graad 10 verander nie die periode nie — dit is Graad 11.
3
Waardeversameling: 1 − 2 ≤ y ≤ 1 + 2.
Die ewewigslyn is y = q = 1, en die grafiek reik 2 aan elke kant.
4
−1 ≤ y ≤ 3.

⚠️

Die maksimum van y = 2 sin x + 1 is 3, nie 2 nie. Werk die amplitude en die skuif afsonderlik uit, en kombineer hulle dan.

4Die tangensgrafiek

y = tan x op [0° ; 360°], met asimptote by 90° en 270°.

tan het geen amplitude nie (dit het geen maksimum of minimum nie), ’n periode van 180°, en vertikale asimptote oral waar cos x = 0 — by 90° en 270° in hierdie interval.

💡

Teken die asimptote as stippellyne voordat jy die kromme teken. Punte word daarvoor toegeken, en die vorm word duidelik sodra hulle daar is.

5Terugwaarts werk: die vergelyking van ’n gegewe grafiek bepaal

Om ’n grafiek uit ’n vergelyking te skets, is die helfte van die vaardigheid. Die ATP vra ook dat jy die vergelyking van ’n gegewe grafiek bepaal, en vraestelle vra dit gedurig. Lees drie dinge af, in hierdie volgorde.

Watter kromme is dit? ’n Sinusgrafiek begin by sy middelwaarde en styg; ’n cosinusgrafiek begin by ’n maksimum of minimum; ’n tangensgrafiek het asimptote.
q — die vertikale skuif. q = (maksimum + minimum) ÷ 2. Dit is die waarde waarom die kromme ossilleer.
a — die amplitude. a = (maksimum − minimum) ÷ 2. As die kromme omgeflip is (’n sinusgrafiek wat eers afgaan), is a negatief.

Vir y = a sinθ + q: a = (max − min)/2 (vir a > 0) q = (max + min)/2

Uitgewerkte voorbeeld’n Cosinusgrafiek begin by sy maksimum van 5 en het ’n minimum van −1. Bepaal sy vergelyking.

1
q = (5 + (−1))/2 = 2
Die ewewigslyn van die kromme.
2
a = (5 − (−1))/2 = 3
Die helfte van die totale vertikale verspreiding.
3
Die grafiek begin by sy maksimum, dus is a positief.
’n Negatiewe a sou dit omflip sodat dit by die minimum begin.
4
y = 3 cos θ + 2

Uitgewerkte voorbeeld’n Sinusgrafiek het ’n waardeversameling van [−4 ; 2] en daal vanaf θ = 0°. Bepaal sy vergelyking.

1
maks = 2 en min = −4
Lees direk van die waardeversameling af.
2
q = (2 + (−4))/2 = −1
3
a = (2 − (−4))/2 = 3, maar die grafiek DAAL eers, dus a = −3
’n Gewone sinusgrafiek styg vanaf sy ewewigslyn. Daal beteken dit is gereflekteer.
4
y = −3 sin θ − 1

⚠️

Om die amplitude as die maksimum te lees. Vir y = 3 cosθ + 2 is die maksimum 5, nie 3 nie. Amplitude is die afstand vanaf die ewewigslyn tot by die maksimum — en die ewewigslyn is slegs die θ-as wanneer q = 0.

Oefeninge

Werk elkeen uit en klik dan om die antwoord te sien.

📄 Werkkaart ✅ Memo 📝 Eksamenvraestel 🗝️ Nasienriglyn

1
Skryf die amplitude van y = 2 sin x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
2
2
Skryf die periode van y = sin x neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
360°
3
Skryf die waardeversameling van y = 2 sin x + 1 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
−1 ≤ y ≤ 3
4
Beskryf die transformasie van y = cos x na y = cos x + 1.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
’n Skuif van 1 eenheid opwaarts
5
Skryf die vergelykings van die asimptote van y = tan x vir x ∈ [0° ; 360°] neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 90° en x = 270°
6
Skryf die maksimum waarde van y = 3 cos x − 1 neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
3 − 1 = 2
7
By watter waarde van x in [0° ; 360°] bereik y = sin x sy minimum?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
x = 270°
8
Wat doen ’n negatiewe waarde van a aan y = a sin x?
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
Dit reflekteer die grafiek in die x-as.
9
Die grafiek van y = a sinθ + q, waar a > 0, het ’n maksimum waarde van 7 en ’n minimum waarde van 1. Bepaal die waardes van a en q, en skryf die vergelyking van die grafiek neer.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
q = (7 + 1)/2 = 4 ✓; a = (7 − 1)/2 = 3 ✓; y = 3 sinθ + 4 ✓
10
Die grafiek van y = a cosθ + q, waar a > 0, het ’n waardeversameling van [−5 ; 3]. Bepaal a en q.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
q = (3 + (−5))/2 = −1 ✓; a = (3 − (−5))/2 = 4 ✓; dus y = 4 cosθ − 1 ✓
11
’n Cosinusgrafiek gaan deur ’n MINIMUM by θ = 0° en het amplitude 2 sonder ’n vertikale skuif. Skryf sy vergelyking neer en verduidelik die teken van a.
Wys antwoord ▾Versteek antwoord ▴
y = −2 cosθ ✓✓; a is negatief omdat ’n gewone cosinusgrafiek by ’n maksimum begin — om by ’n minimum te begin beteken dit is in die θ-as gereflekteer ✓